Title: On higher graph manifolds

Authors: C. Connell and P. Suarez-Serrato

摘要:

在这篇短文中, 我们引入了一个名为“高维图形流形”(higher graph manifolds)的一般概念, 并且利用重心技巧的某个版本来刻画它们何时经历体积塌缩. 对于分块(pure pieces)是双曲时的情形, 我们计算极小体积的确切值. 对于这些流形, 我们证实了 Baum-Connes 猜测, 并且证明它们不具有正数量曲率的度量. 在没有任何 pure pieces 的情形, 我们证明 Yamabe 不变量为零.

1. 介绍

定义 1. 一个 $n(\geqslant 3)$ 维紧致光滑流形 $M$ 被称为高维图形流形(higher graph manifold), 如果它能以下面的方式来构建:

(1) 对每个 $i=1,2,\ldots,r$, 取一个体积有限、完备非紧的 pinched 负曲率 $n_i$-维流形, 这里 $2\leqslant n_i\leqslant n$.

(2) 将 $V_i$ 切掉 cusp 之后得到的带边紧致流形记为 $M_i$. (这里截断 cusp 是指通过将 cusp 的(非最大的)horospherical 开邻域从 $V_i$ 中去掉.)

...

设 $\{M_i^3\}$ 是一列紧致三维流形序列, 曲率有下界 $-1$, 且 $\text{diam}(M_i^3)\geq c_0>0$. 假设 $M_i^3$ 中的所有单位度量球的体积都非常小且至多 $v_i$, 这些 $v_i$ 当 $i\rightarrow\infty$ 时趋于零. 并且假设 $M_i^3$ 或者是闭的, 或者具有凸的不可压缩的环面边界. 则对于充分大的 $i$, $M_i^3$ 必为一个图形流形.

注: 这个定理可以认为是隐函数定理的推广.

References:

Jianguo Cao and Jian Ge, A proof of Perelman\'s collapsing theorem for 3-manifolds.