Questions in category: 计算数学 (Computational mathematics)
计算数学

1. Gamma 函数

Posted by haifeng on 2015-09-19 16:48:27 last update 2015-09-19 17:11:06 | Answers (0) | 收藏


编程计算 Gamma 函数的值

\[
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^s\cdot\frac{1}{t}dt
\]

GNU GSL

http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Gamma-Functions.html#index-gsl_005fsf_005flngamma-583

 

 

References:

http://stackoverflow.com/questions/15472803/gamma-or-log-gamma-function-in-c-or-c

http://www.nr.com/

2. Riemann Zeta 函数的编程

Posted by haifeng on 2015-09-16 17:54:16 last update 2015-09-19 16:36:18 | Answers (1) | 收藏


http://www.cplusplus.com/forum/general/93834/

3. Lagrange 插值多项式

Posted by haifeng on 2015-06-07 23:29:39 last update 2015-06-07 23:54:34 | Answers (0) | 收藏


Lagrange 插值多项式 (或称 Lagrange 多项式)

Lagrange polynomial (interpolation polynomial in the Lagrange form )

 

是指经过 $n$ 个点的阶小于 $n$ 的如下多项式 $P(x)$. (这 $n$ 个点是 $\{(x_i,y_i)\mid y_i=f(x_i), i=1,2\ldots, n\}$)

\[
P(x):=\sum_{j=1}^{n}P_j(x),
\]

其中

\[
P_j(x)=y_j\prod_{k=1,k\neq j}^{n}\frac{x-x_k}{x_j-x_k},
\]

确切地,

\[
\begin{split}
P(x)=&\frac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}y_1\\
&+\frac{(x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)}y_2\\
&+\cdots +\frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}y_n.
\end{split}
\]


矩阵为参数的 Lagrange 多项式

设 $A$ 是可对角化矩阵, 有 $k$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$. $A$ 的 $k$ 个 Frobenius covariant(协变量) 是指下面的 $k$ 个矩阵:

\[
A_i:=\prod_{j=1,j\neq i}^{k}\frac{1}{\lambda_i-\lambda_j}(A-\lambda_j I),\quad i=1,2,\ldots, k.
\]

此本质上就是 Lagrange 插值多项式, 只不过 $x$ 换成了矩阵 $A$.

 

4. 3n+1循环的等价问题(Open problem)

Posted by haifeng on 2011-07-01 13:05:43 last update 2011-07-01 13:08:34 | Answers (0) | 收藏


考虑 3n+1循环中变换 $T(n)$ 的逆变换

\[ n=S(m)= \begin{cases} 2m&n\text{ is even}\\ (2m-1)/3&n\text{ is odd and }n>1. \end{cases} \] 问是否可由数字1在变换S下生成所有自然数. 一个很简单的事实是, 在S下由1生成了一棵树. 现在的问题是这棵树是否包含了所有自然数?

5. $\sqrt{3}$ 的数值求解

Posted by haifeng on 2011-06-29 16:45:15 last update 2011-06-29 16:47:27 | Answers (1) | 收藏


设数列 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 满足递推关系

\[ x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+\frac{3}{x_{n-1}}),\quad n=1,2,\ldots, \] 给定初值 $x_0>0$. 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\sqrt{3}$.

6. How to get the best mesh from SnappyHexMesh

Posted by haifeng on 2011-06-28 18:02:33 last update 2011-06-28 18:02:33 | Answers (0) | 收藏


How to get the best mesh from SnappyHexMesh

7. 3n+1 循环(Open problem)

Posted by haifeng on 2011-06-28 14:46:17 last update 2012-12-12 21:44:45 | Answers (2) | 收藏


目前尚不清楚这个循环是否对所有大于1的正整数 $n$ 都会终止.

while(n>1){
	n=T(n);
}

int T(int n){
	if(n%2==0){
		return n/2;
	}else{
		return (3*n+1)/2;
	}
//return (n%2?(3*n+1)/2:n/2);
}

用归纳法证明

\[ T^k(2^k n-1)=3^k n-1,\quad\forall\ k,n>0. \]


3n+1 猜想断言: 对于任意给定的正整数, 经 $T$ 连续作用有限次后均无一例外地落入 $\{4,2,1\}$ 这一数字陷阱.
等价的说法是, 由 $\{1,2,4\}$ 经过 $T$ 的“逆作用” 可以生成所有自然数.

通过复分析研究此猜想已经取得了一些结论, 详见李玉华(云南师范大学)所写的"$3n+1$ 猜想与复解析方法", 见《10000个科学难题(数学卷)》.

20世纪30年代 L.Collatz 为了弄清顶点集是自然数集而有向边 ...

8. 关于向量值函数有限差分方法的基本公式

Posted by haifeng on 2011-06-11 11:01:58 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏


\[ \Delta_{+}(\vec{u}_j\times\vec{v}_j)=(\Delta_{+}\vec{u}_j)\times\vec{v}_j+\vec{u}_{j+1}\times\Delta_{+}\vec{v}_j \]

9. 有限差分方法的基本公式

Posted by haifeng on 2011-06-05 22:57:50 last update 2011-06-23 17:45:40 | Answers (0) | 收藏


设 $u$ 是 $\Omega=[0,\ell]$ 上的函数, 将该区间 $N$ 等分, 记 $u_j=u(x_j)$, 其中 $x_j=j\cdot h$, $h=\Delta x=\frac{\ell}{N}$. 则有 \[ \sum_{j=1}^{N}u_j\Delta_{-}v_j=-\sum_{j=0}^{N-1}v_j\Delta_{+}u_j-u_0 v_0+u_N v_N, \] \[ \sum_{j=1}^{N-1}u_j\Delta_{+}\Delta_{-}v_j=-\sum_{j=0}^{N-1}\Delta_{+}u_j\Delta_{+}v_j-u_0\Delta_{+}v_0+u_N\Delta_{-}v_N, \] \[ \Delta_{+}(u_j v_j)=u_{j+1}\Delta_{+}v_j+v_j\Delta_{+}u_j. \] 其中 $\Delta_{+},\Delta_{-}$ 分别指向前差分(forward difference)和向后差分(backward difference).