Questions in category: 计算数学 (Computational mathematics)
计算数学
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1. 国内计算软件

Posted by haifeng on 2022-08-06 08:13:15 last update 2022-08-06 09:50:54 | Answers (0) | 收藏


本源量子  

本源量子云-本源量子云平台 (originqc.com.cn)  [https://qcloud.originqc.com.cn/]

QPanda 2 — QPanda 文档 (qpanda-tutorial.readthedocs.io)  [https://qpanda-tutorial.readthedocs.io/zh/latest/]

GitHub - OriginQ/QPanda-2: QPanda 2 is an open source quantum computing framework developed by OriginQC that can be used to build, run, and optimize quantum algorithms.    [https://github.com/OriginQ/QPanda-2]


七维高科

http://www.7d-soft.com/

  1. “领先世界、当今最强大、最易于使用的数值优化分析计算软件平台:最强大的全局优化算法令优化拟合不再成为难题,独特的ODE求解器轻松应对任意边值问题。”
  2. “非线性拟合、非线性方程组、参数估算反演、方程求解、微分方程求解、微分方程拟合 、非线性规划、混合整数规划...,令你忘却Matlab、Origin、Lingo、Gams等世界品牌使用时的繁琐、低效与不足。”
  3. “遍布世界数十万名科技工作者的选择!”

 


元计算

http://www.yuanjisuan.cn/

 

号称中国唯一原创工业仿真解决方案提供商

“FELAC.IDE采用元件化思想自主定制有限元计算的基本工序,使用有限元语言来书写偏微分方程及多种算法,高效、高质量地生成有限元求解器的通用有限元软件集成开发平台。”

 


中科大ABACUS

第一性原理量子力学计算软件ABACUS(Atomic-orbital Based Ab-initio Computation at UStc)
http://abacus.ustc.edu.cn/
http://ooe.ustc.edu.cn/news8.html

 


baltamatica

北太振寰(重庆)科技有限公司 (baltamatica.com)   [http://www.baltamatica.com/]

北太天元数值计算通用软件Numerical Computation Software

北太天元数值计算通用软件提供科学计算、可视化、交互式程序设计,具备强大的底层数学函数库,支持数值计算、数据分析、数据可视化、数据优化、算法开发等工作,并通过SDK与API接口,扩展支持各类学科与行业场景,为各领域科学家与工程师提供优质、可靠的科学计算环境。

 

 


CAE 论坛

全国工程计算软件发展论坛 (caeforum.cn)    [http://caeforum.cn/]

2. Chudnovsky 公式

Posted by haifeng on 2019-03-09 11:44:12 last update 2021-04-18 11:23:00 | Answers (0) | 收藏


用来计算 $\pi$ 的楚德诺夫斯基(Chudnovsky)公式:

\[
\frac{1}{\pi}=12\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k\cdot(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^3\cdot 640320^{3k+\frac{3}{2}}}.
\]

等价于

\[
\frac{(640320)^{\frac{3}{2}}}{12\pi}=\frac{426880\sqrt{10005}}{\pi}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^3(-262537412640768000)^k}
\]

 

\[
\frac{640320^{3/2}}{12\pi}=\frac{426880\sqrt{10005}}{\pi}=\sum^\infty_{k=0}\frac{(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^3\left(-640320\right)^{3k}}
\]

 

 


References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm

https://bbs.emath.ac.cn/thread-17586-1-1.html

http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/pifast.html

http://www.numberworld.org/y-cruncher/internals/binary-splitting-library.html#pi_chudnovsky

 

3. Gamma 函数

Posted by haifeng on 2015-09-19 16:48:27 last update 2015-09-19 17:11:06 | Answers (0) | 收藏


编程计算 Gamma 函数的值

\[
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^s\cdot\frac{1}{t}dt
\]

GNU GSL

http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Gamma-Functions.html#index-gsl_005fsf_005flngamma-583

 

 

References:

http://stackoverflow.com/questions/15472803/gamma-or-log-gamma-function-in-c-or-c

http://www.nr.com/

4. Riemann Zeta 函数的编程

Posted by haifeng on 2015-09-16 17:54:16 last update 2015-09-19 16:36:18 | Answers (1) | 收藏


http://www.cplusplus.com/forum/general/93834/

5. Lagrange 插值多项式

Posted by haifeng on 2015-06-07 23:29:39 last update 2015-06-07 23:54:34 | Answers (0) | 收藏


Lagrange 插值多项式 (或称 Lagrange 多项式)

Lagrange polynomial (interpolation polynomial in the Lagrange form )

 

是指经过 $n$ 个点的阶小于 $n$ 的如下多项式 $P(x)$. (这 $n$ 个点是 $\{(x_i,y_i)\mid y_i=f(x_i), i=1,2\ldots, n\}$)

\[
P(x):=\sum_{j=1}^{n}P_j(x),
\]

其中

\[
P_j(x)=y_j\prod_{k=1,k\neq j}^{n}\frac{x-x_k}{x_j-x_k},
\]

确切地,

\[
\begin{split}
P(x)=&\frac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}y_1\\
&+\frac{(x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)}y_2\\
&+\cdots +\frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}y_n.
\end{split}
\]


矩阵为参数的 Lagrange 多项式

设 $A$ 是可对角化矩阵, 有 $k$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$. $A$ 的 $k$ 个 Frobenius covariant(协变量) 是指下面的 $k$ 个矩阵:

\[
A_i:=\prod_{j=1,j\neq i}^{k}\frac{1}{\lambda_i-\lambda_j}(A-\lambda_j I),\quad i=1,2,\ldots, k.
\]

此本质上就是 Lagrange 插值多项式, 只不过 $x$ 换成了矩阵 $A$.

 

6. 3n+1循环的等价问题(Open problem)

Posted by haifeng on 2011-07-01 13:05:43 last update 2011-07-01 13:08:34 | Answers (0) | 收藏


考虑 3n+1循环中变换 $T(n)$ 的逆变换

\[ n=S(m)= \begin{cases} 2m&n\text{ is even}\\ (2m-1)/3&n\text{ is odd and }n>1. \end{cases} \] 问是否可由数字1在变换S下生成所有自然数. 一个很简单的事实是, 在S下由1生成了一棵树. 现在的问题是这棵树是否包含了所有自然数?

7. $\sqrt{3}$ 的数值求解

Posted by haifeng on 2011-06-29 16:45:15 last update 2011-06-29 16:47:27 | Answers (1) | 收藏


设数列 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 满足递推关系

\[ x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+\frac{3}{x_{n-1}}),\quad n=1,2,\ldots, \] 给定初值 $x_0>0$. 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\sqrt{3}$.

8. How to get the best mesh from SnappyHexMesh

Posted by haifeng on 2011-06-28 18:02:33 last update 2011-06-28 18:02:33 | Answers (0) | 收藏


How to get the best mesh from SnappyHexMesh

9. 3n+1 循环(Open problem)

Posted by haifeng on 2011-06-28 14:46:17 last update 2012-12-12 21:44:45 | Answers (2) | 收藏


目前尚不清楚这个循环是否对所有大于1的正整数 $n$ 都会终止.

while(n>1){
	n=T(n);
}

int T(int n){
	if(n%2==0){
		return n/2;
	}else{
		return (3*n+1)/2;
	}
//return (n%2?(3*n+1)/2:n/2);
}

用归纳法证明

\[ T^k(2^k n-1)=3^k n-1,\quad\forall\ k,n>0. \]


3n+1 猜想断言: 对于任意给定的正整数, 经 $T$ 连续作用有限次后均无一例外地落入 $\{4,2,1\}$ 这一数字陷阱.
等价的说法是, 由 $\{1,2,4\}$ 经过 $T$ 的“逆作用” 可以生成所有自然数.

通过复分析研究此猜想已经取得了一些结论, 详见李玉华(云南师范大学)所写的"$3n+1$ 猜想与复解析方法", 见《10000个科学难题(数学卷)》.

20世纪30年代 L.Collatz 为了弄清顶点集是自然数集而有向边 ...

10. 关于向量值函数有限差分方法的基本公式

Posted by haifeng on 2011-06-11 11:01:58 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏


\[ \Delta_{+}(\vec{u}_j\times\vec{v}_j)=(\Delta_{+}\vec{u}_j)\times\vec{v}_j+\vec{u}_{j+1}\times\Delta_{+}\vec{v}_j \]
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