问题及解答

证明 $x=\cos x$ 在 $(0,1)$ 内存在惟一的实根. 并求这个根的近似值.

令 $f(x)=x-\cos x$, 则 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 在 $(0,1)$ 内可导. 

$f(0)=-1$, $f(1)=1-\cos 1 > 0$, 又

\[f'(x)=1+\sin x > 0,\quad\forall\ x\in(0,1)\]

故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在惟一的根.