证明 Dirichlet 定理需要以下知识:

• 有限交换群的特征 (characters of finite abelian groups)
• Dirichlet L 级数 (Dirichlet L-series)

译自

Kuat Yessenov, Dirichlet\'s theorem on primes in arithmetic progressions

Download from [http://people.csail.mit.edu/kuat/courses/dirichlet.pdf]

下载中译本 [Dirichlet 定理的证明]

1. 介绍

我们知道大于 2 的素数都是奇数. 换句话说, 算术级数(arithmetic progression, 即等差级数) $\{1+2k\mid k\in\mathbb{Z}_{>0}\}$ 中包含了无穷多个素数. 我们想知道这对于一般的算术级数加上一些必要条件是否也成立. 运用初等的方法可以证明这个结论对于 $\{\pm 1+4k\mid k\in\mathbb{Z}_{>0}\}$ 成立(see [1]). (注: 形如 $4k+1$ 的素数可以唯一地表示为两个数的平方和.)

Theorem 1.1 (Dirichlet). 设 $a$ 和 $m$ 是两个互素的正整数. 则存在无穷多个素数 $p$, 使得 $p\equiv a(\text{mod} m)$.

我们首先讲述两个基本工具: 交换群的特征(characters of finite abelian groups), $L$-级数. 我们沿用 [1] 中的证明.

2. Characters

考虑一个有限 Abel 群 $G$.
Definition 2.1 $G$ 的特征是指 $G$ 到复数乘法群 $\mathbb{C}^{\times}$ 的一个同态: $\chi:G\rightarrow\mathbb{C}^{\times}$

这些特征在群运算 $(\chi_1\chi_2)(x)=\chi_1(x)\chi_2(x)$, 以及单位元 $\chi_0(x)=1$, $\forall\ x\in G$ 之下构成一个群 $\widehat{G}$. 这个群称为 $G$ 的对偶群(dual group).

对任意特征 $\chi$, 存在特征 $\bar{\chi}$ (通过复数的共轭来定义)
\[
\bar{\chi}(x)=\overline{\chi(x)}=\frac{1}{\chi(x)}.
\]

关于特征的一些性质对于一般的有限 Abel 群也是成立的. 但是我们这里将注意力集中在某一特殊类型的群上.

Proposition 2.2. 对偶群 $\widehat{G}$ 同构于群 $G$. 特别的, 它们具有相同数量的元素.

证明. 我们对于 $G$ 的元素个数 $n$ 进行归纳来证明 $G\cong\widehat{G}$. 对于生成元为 $x$ 的循环群 $G$, $\chi(x)$ 是单位 $1$ 的 $n$ 次根.
 

完整内容详见上面的中译本

http://annals.math.princeton.edu/2008/167-2/p03

The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions

Authors

Ben Green

Center for Mathematical Sciences
University of Cambridge
Cambridge CB3 0WB
United Kingdom

Terence Tao

Department of Mathematics
University of California at Los Angeles
Los Angeles, CA 90095
United States

主要定理:

素数集合中包含无穷多长度为 $k$ (对所有 $k$ 都对) 的等差数列(arithmetic progression).

换句话说:

对任意 $k$, 存在各项都是素数的等差数列

\[
a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(k-1)d.
\]

1. 哥德巴赫猜想(Goldbach\'s Conjecture): 每个大于 $2$ 的偶数都是两个素数的和.

2. 孪生素数猜想(Twin Prime Conjecture): 存在无穷多对孪生素数.(如果 $p$ 和 $p+2$ 都是素数, 我们称它们是孪生素数.)

3. 是否存在无穷多个形如 $n^2+1$ 的素数?

4. 是否存在无穷多个形如 $2^n-1$ 的素数? 这种素数称为 Mersenne 素数.

5. 是否存在无穷多个形如 $2^{2^n}+1$ 的素数? 这种素数称为 Fermat 素数.

6. ( $3n+1$ 猜想/The Collatz Problem/The Syracuse Problem ) 定义 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ 为,
\[
f(n)=\left\{
\begin{array}{ll}
3n+1, & n\ \text{是奇数},\\
n/2, & n\ \text{是偶数}.
\end{array}
\right.
\]
则序列 $f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\ldots$ 中一定包含 $1$, 不管 $n$ 从何开始. (参见问题 201, 204)

7. 是否存在无穷多个这样的素数, 它们在十进制下的形式为 $11\cdots 1$, 即每一位都是数字 $1$? 形如 $11\cdots 1$ 的数称为 repunits.

8. 是否存在无穷多个完全数(perfect number)? [如果一个数等于它的所有真因子的和, 则称之为 perfect number.]

9. 是否存在一个快速的算法用以分解大整数? [如果确实有这样的算法, 则对密码学和数据安全带来重要的影响.]
 

References:

W. Edwin Clark, Elementary Number Theory.

http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math413Fall98/Conjectures.html

斐波那契数和黄金分割
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

素数
http://www.utm.edu/research/primes/

http://primes.utm.edu/

网上素数大搜索
http://www.mersenne.org/

MacTutor 数学历史档案馆
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/index.html

数学中的常见问题
http://db.uwaterloo.ca/alopez-o/math-faq.html

数论网
http://www.numbertheory.org/ntw/web.html
http://www.numbertheory.org/ntw/lecture_notes.html

RSA 实验室 --- 密码学常见问题
http://www.rsasecurity.com/rsalabs/faq/

费马大定理
http://www.best.com/~cgd/home/flt/flt01.htm

NOVA 在线 --- 证明
http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof

Prime-Numbers.org

http://www.prime-numbers.org/

http://www.primepuzzles.net

References

Kenneth H. Rosen, Elementary Number Theory and Its Applications (Fifth Edition)
夏鸿刚 译, 初等数论及其应用(原书第五版)

大概在1825年人们提出了这个问题, 即猜测连续的 $k$ 个正整数的乘积不可能是一个数的幂, 也即

\[(n+1)(n+2)\cdots(n+k)=x^\ell\tag{1}\]

无解, 这里 $n\geq 0$, $k\geq 2$, $\ell\geq 2$. 早期关于这方面的文献可在 Dickson 的历史中找到. 后来的文献可在 Oblath 的文章[Oblath]中找到.

Rigge[6], 及几个月后 Erdõs [1] 对于 $\ell=2$ 的情形给出了证明(参见问题671). 他们在[1]中证明对于固定的 $\ell$, (1) 至多只有有限多个解. 1940年, Erdõs 和 Siegel 合作证明了存在一个常数 $c$, 当 $k>c$ 时 (1) 无解, 但这个证明从未发表. 后来 Erdõs [2] 发现了一个不同的证法. 通过改进这个证法, Erdõs 和 Selfridge [0] 证明了这个古老的猜想. 即有如下结论.

定理 1. 两个或两个以上的连续正整数的乘积不可能是一个数的幂.

事实上, 他们证明了一个更强的结论:

定理 2. 设正整数 $k,\ell,n$ 满足 $k\geq 3$, $\ell\geq 2$ 且 $n+k\geq p^{(k)}$, 其中 $p^{(k)}$ 指大于等于 $k$ 的最小的素数. 则存在素数 $p\geq k$, 使得

\[\alpha_p\not\equiv 0\quad(\text{mod}\ \ell)\]

其中 $\alpha_p$ 是 $p$ 的幂, 且能够整除 $(n+1)(n+2)\cdots(n+k)$.

定理 2 可推出定理 1.

Pf. $(n+1)(n+2)$ 显然不可能是某个数的幂(幂次大于1). 若 $n\leq k$, 则由 Bertrand 假设, $n+1$, $n+k$ 之间至少有一个素数(注意 $n+k\geq 2n$). Then the largest prime factor of $(n+1)(n+2)\cdots(n+k)$ divides this product to exactly the first power. 

可以猜想定理 2 的一个加强版本:

若 $k\geq 4$, 且 $n+k\geq p^{(k)}$, 则至少存在一个大于 $k$ 的素数, which divides $(n+1)(n+2)\cdot(n+k)$ to the first power. 这个猜想如果成立的话, 则看起来是十分深刻的. 要求 $k\geq 4$, 其启发来自于下面的等式

\[\binom{50}{3}=140^2,\quad\text{i.e.}\quad (47+1)(47+2)(47+3)=6\cdot140^2\]

1. 基本引理

首先由著名的 Sylvester 和 Schur 【3】定理, 我们观察到, 总存在大于 $k$ 的一个素数 $p$, 可以整除 $(n+1)(n+2)\cdot(n+k)$, 这是因为 $n>k$, $2k<n+k<2n$. 这样的素数 $p$ 显然仅能整除这 $k$ 个因子中的一个. 因此如果 $(n+1)(n+2)\cdots(n+k)=x^l$, 则只要

\[n>k^\ell\tag{2}\]

就有 $n+k\geq (k+1)^\ell$.

下面我们假设定理 2 不成立, 对每个 $1\leq i\leq k$, 有

\[n+i=a_i x_i^l\tag{3}\]

其中 $a_i$ 不能表示为某个数的 $\ell$ 次幂, 且它的所有素因子都小于 $k$.

在 Erdõs [1] 关于 $\ell=2$ 情形的证明中, 证明了 $a_i\neq a_j$, 当 $i\neq j$ 时.

References:

[0] P. Erdõs and J. L. Selfridge, The product of consecutive integers is never a power. download

[1] P. Erdõs, Notes on the product of consecutive integers: I and II, J. London Math. Soc., vol. 14 (1939), pp. 194-198 and 245-249.

R. Oblath, Über Produkte aufeinanderfolgender Zahlen, Tohoku Math. J., vol. 38(1933), pp.73-92.