问题及解答

证明 Dirichlet 定理需要以下知识:

• 有限交换群的特征 (characters of finite abelian groups)
• Dirichlet L 级数 (Dirichlet L-series)

译自

Kuat Yessenov, Dirichlet\'s theorem on primes in arithmetic progressions

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下载中译本 [Dirichlet 定理的证明]

1. 介绍

我们知道大于 2 的素数都是奇数. 换句话说, 算术级数(arithmetic progression, 即等差级数) $\{1+2k\mid k\in\mathbb{Z}_{>0}\}$ 中包含了无穷多个素数. 我们想知道这对于一般的算术级数加上一些必要条件是否也成立. 运用初等的方法可以证明这个结论对于 $\{\pm 1+4k\mid k\in\mathbb{Z}_{>0}\}$ 成立(see [1]). (注: 形如 $4k+1$ 的素数可以唯一地表示为两个数的平方和.)

Theorem 1.1 (Dirichlet). 设 $a$ 和 $m$ 是两个互素的正整数. 则存在无穷多个素数 $p$, 使得 $p\equiv a(\text{mod} m)$.

我们首先讲述两个基本工具: 交换群的特征(characters of finite abelian groups), $L$-级数. 我们沿用 [1] 中的证明.

2. Characters

考虑一个有限 Abel 群 $G$.
Definition 2.1 $G$ 的特征是指 $G$ 到复数乘法群 $\mathbb{C}^{\times}$ 的一个同态: $\chi:G\rightarrow\mathbb{C}^{\times}$

这些特征在群运算 $(\chi_1\chi_2)(x)=\chi_1(x)\chi_2(x)$, 以及单位元 $\chi_0(x)=1$, $\forall\ x\in G$ 之下构成一个群 $\widehat{G}$. 这个群称为 $G$ 的对偶群(dual group).

对任意特征 $\chi$, 存在特征 $\bar{\chi}$ (通过复数的共轭来定义)
\[
\bar{\chi}(x)=\overline{\chi(x)}=\frac{1}{\chi(x)}.
\]

关于特征的一些性质对于一般的有限 Abel 群也是成立的. 但是我们这里将注意力集中在某一特殊类型的群上.

Proposition 2.2. 对偶群 $\widehat{G}$ 同构于群 $G$. 特别的, 它们具有相同数量的元素.

证明. 我们对于 $G$ 的元素个数 $n$ 进行归纳来证明 $G\cong\widehat{G}$. 对于生成元为 $x$ 的循环群 $G$, $\chi(x)$ 是单位 $1$ 的 $n$ 次根.
 

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