问题及解答

大概在1825年人们提出了这个问题, 即猜测连续的 $k$ 个正整数的乘积不可能是一个数的幂, 也即

\[(n+1)(n+2)\cdots(n+k)=x^\ell\tag{1}\]

无解, 这里 $n\geq 0$, $k\geq 2$, $\ell\geq 2$. 早期关于这方面的文献可在 Dickson 的历史中找到. 后来的文献可在 Oblath 的文章[Oblath]中找到.

Rigge[6], 及几个月后 Erdõs [1] 对于 $\ell=2$ 的情形给出了证明(参见问题671). 他们在[1]中证明对于固定的 $\ell$, (1) 至多只有有限多个解. 1940年, Erdõs 和 Siegel 合作证明了存在一个常数 $c$, 当 $k>c$ 时 (1) 无解, 但这个证明从未发表. 后来 Erdõs [2] 发现了一个不同的证法. 通过改进这个证法, Erdõs 和 Selfridge [0] 证明了这个古老的猜想. 即有如下结论.

定理 1. 两个或两个以上的连续正整数的乘积不可能是一个数的幂.

事实上, 他们证明了一个更强的结论:

定理 2. 设正整数 $k,\ell,n$ 满足 $k\geq 3$, $\ell\geq 2$ 且 $n+k\geq p^{(k)}$, 其中 $p^{(k)}$ 指大于等于 $k$ 的最小的素数. 则存在素数 $p\geq k$, 使得

\[\alpha_p\not\equiv 0\quad(\text{mod}\ \ell)\]

其中 $\alpha_p$ 是 $p$ 的幂, 且能够整除 $(n+1)(n+2)\cdots(n+k)$.

定理 2 可推出定理 1.

Pf. $(n+1)(n+2)$ 显然不可能是某个数的幂(幂次大于1). 若 $n\leq k$, 则由 Bertrand 假设, $n+1$, $n+k$ 之间至少有一个素数(注意 $n+k\geq 2n$). Then the largest prime factor of $(n+1)(n+2)\cdots(n+k)$ divides this product to exactly the first power. 

可以猜想定理 2 的一个加强版本:

若 $k\geq 4$, 且 $n+k\geq p^{(k)}$, 则至少存在一个大于 $k$ 的素数, which divides $(n+1)(n+2)\cdot(n+k)$ to the first power. 这个猜想如果成立的话, 则看起来是十分深刻的. 要求 $k\geq 4$, 其启发来自于下面的等式

\[\binom{50}{3}=140^2,\quad\text{i.e.}\quad (47+1)(47+2)(47+3)=6\cdot140^2\]

1. 基本引理

首先由著名的 Sylvester 和 Schur 【3】定理, 我们观察到, 总存在大于 $k$ 的一个素数 $p$, 可以整除 $(n+1)(n+2)\cdot(n+k)$, 这是因为 $n>k$, $2k<n+k<2n$. 这样的素数 $p$ 显然仅能整除这 $k$ 个因子中的一个. 因此如果 $(n+1)(n+2)\cdots(n+k)=x^l$, 则只要

\[n>k^\ell\tag{2}\]

就有 $n+k\geq (k+1)^\ell$.

下面我们假设定理 2 不成立, 对每个 $1\leq i\leq k$, 有

\[n+i=a_i x_i^l\tag{3}\]

其中 $a_i$ 不能表示为某个数的 $\ell$ 次幂, 且它的所有素因子都小于 $k$.

在 Erdõs [1] 关于 $\ell=2$ 情形的证明中, 证明了 $a_i\neq a_j$, 当 $i\neq j$ 时.

References:

[0] P. Erdõs and J. L. Selfridge, The product of consecutive integers is never a power. download

[1] P. Erdõs, Notes on the product of consecutive integers: I and II, J. London Math. Soc., vol. 14 (1939), pp. 194-198 and 245-249.

R. Oblath, Über Produkte aufeinanderfolgender Zahlen, Tohoku Math. J., vol. 38(1933), pp.73-92.