Questions in category: 复分析 (Complex Analysis)
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1. 若 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n z^n$ 在收敛圆周上只有一个奇点 $z_0$, 且这个奇点是一级极点, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{c_n}{c_{n+1}}=z_0$.

Posted by haifeng on 2016-10-07 08:57:55 last update 2016-10-07 08:57:55 | Answers (1) | 收藏


若 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n z^n$ 在收敛圆周上只有一个奇点 $z_0$, 且这个奇点是一级极点, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{c_n}{c_{n+1}}=z_0$.

 


另一个版本的题目是:

设 $f$ 在开集 $\Omega\subset\mathbb{C}$ 中除一点 $z_0$ 以外全纯. $\Omega$ 包含单位圆 $S^1$, 且 $z_0\in S^1$. $z_0$ 是 $f$ 的一级极点. 如果把 $f$ 在单位圆盘 $D$ 中展成幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$. 证明

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=z_0.\]

2. Hartogs 扩张定理

Posted by haifeng on 2015-04-24 09:48:43 last update 2015-04-24 09:48:43 | Answers (0) | 收藏


Friedrich Hartogs 在 1906 年发现了这样一个事实.

对于 $\mathbb{C}^2$ 中的一个简单区域 $H$, $H$ 上的任何全纯函数都有一个全纯扩张, 扩张到一个更大的开集 $\hat{H}$ 上.

3. $F(z,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=r}\frac{f(z,\zeta)}{z-w}d\zeta$

Posted by haifeng on 2015-04-24 09:39:59 last update 2015-04-24 09:59:42 | Answers (0) | 收藏


设 $H\subset\mathbb{C}^2=\{(z,w):z,w\in\mathbb{C}\}$ 定义为

\[
H=\{(z,w)\ :\ |z| < 1, \frac{1}{2} < |w| < 1\}\cup\{(z,w)\ :\ |z| < \frac{1}{2}, |w| < 1\}.
\]

设 $f: H\rightarrow\mathbb{C}$ 是全纯映射, 固定某个 $r$ ($\frac{1}{2} < r < 1$). 令

\[
F(z,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=r}\frac{f(z,\zeta)}{z-w}d\zeta.
\]

证明: $F(z,w)$ 在 $G=\{(z,w)\ :\ |z| < 1, |w| < r\}$ 上是全纯的.

 


观察到: 固定 $z_0$ ($|z_0| < \frac{1}{2}$), 则映射 $w\mapsto f(z_0,w)$ 在圆盘 $\{w:|w|<1\}$ 上是全纯的. 因此, 根据 Cauchy 积分公式, 对于 $|w| < r$, 有

\[
f(z_0,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=r}\frac{f(z_0,\zeta)}{\zeta-w}d\zeta=F(z_0,w).
\]

于是在 $\{(z,w):|z|<\frac{1}{2},|w|<r\}$ 上有 $f\equiv F$.

根据 identity theorem 推出: 在 $H\cap G$ 上 $f\equiv F$. 因此 $F$ 给出了全纯函数 $f$ 在 $\hat{H}=H\cup G$ 上的全纯扩张.


Reference:

R. Michael Range, What is a Pseudoconvex Domain? [pdf]

4. 利用留数定理证明 $\int_0^1\log\sin(\pi x)dx=-\log 2$

Posted by haifeng on 2015-03-06 21:59:06 last update 2015-03-06 21:59:06 | Answers (0) | 收藏


利用留数定理证明

\[
\int_0^1\log\sin(\pi x)dx=-\log 2
\]

5. 计算 $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$

Posted by haifeng on 2013-08-27 16:06:58 last update 2013-08-27 16:06:58 | Answers (0) | 收藏


Answer

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\pi\]

6. Carathéodory and Kobayashi metrics

Posted by haifeng on 2011-04-23 18:31:34 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏


Carathéodory and Kobayashi metrics 是多复变函数理论中的重要工具