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几何 >> 几何拓扑不变量 >> 极小体积
Questions in category: 极小体积 (Minimal Volumn).

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Perelman 指出某一类三维流形同构于双曲空间的紧致商空间, 从而极小体积为正.

Posted by haifeng on 2014-01-04 14:21:42 last update 2014-01-04 14:39:06 | Answers (0) | 收藏

Thm. [Perelman]

设 $M^3$ 是一闭的 a-spherical 三维流形($K(\pi,1)$-空间). 假设其基本群 $\Gamma$ 的任何子群都不同构于 $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$, 则 $M^3$ 微分同胚于实双曲空间 $\mathbb{H}^3$ 的一个紧致商空间, 即 $M^3\equiv\mathbb{H}^3/\Gamma$. 从而,

\[\text{MinVol}(M^3)\geqslant\frac{1}{24}\|M^3\|>0.\]


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