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几何 >> 黎曼几何 >> 齐性空间与对称空间
Questions in category: 齐性空间与对称空间 (Homogeneous and Symmetric Spaces).

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[Def]齐性空间(Homogeneous space)

Posted by haifeng on 2013-12-21 11:39:33 last update 2013-12-21 15:26:30 | Answers (0) | 收藏

$G$ 是一个李群, 若它在某个微分流形 $M$ 上有群作用, 并且作用是可迁的(transitively), 则称 $M$ 为关于李群 $G$ 的齐性空间(Homogeneous space).

$G$ 的某个子群如果保持某个点 $p_0\in M$ 不动, 则称该子群为 $p_0$ 处的迷向子群(isotropy group). 即

\[
K=K_{p_0}=\{g\in G\mid g.p_0=p_0\}
\]

设 $\mathscr{g}$ 和 $\mathscr{k}$ 分别为 $G$ 和 $K$ 的李代数, $\mathscr{m}$ 是向量空间 $\mathscr{k}$ 在 $\mathscr{g}$ 中的补空间, 则

\[\mathscr{g}=\mathscr{k}\oplus\mathscr{m},\quad [\mathscr{k},\mathscr{k}]\subset\mathscr{k}\]

这里 $\mathscr{m}$ 等同于 $M=G/K$ 在点 $p_0$ 处的切空间 $T_{p_0}M$. 此时有 $[\mathscr{k},\mathscr{k}]\subset\mathscr{k}$. (Why?)

但是对于 $[\mathscr{k},\mathscr{m}]$ 和 $[\mathscr{m},\mathscr{m}]$ 我们知之甚少.


注: 可迁作用即, $\forall\ p,q\in M$, 存在 $g\in G$, 使得 $g.p=q$.


References:

Allan P. Fordy and Peter P. Kulish, Nonlinear Schrödinger Equations and Simple Lie Algebras, Commun. Math. Phys. 89, 427--443 (1983).


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