定义(分裂域 splitting field). 设域 $K$ 是域 $F$ 的扩张(extension field), $f(x)\in F[x]$, 称 $K$ 是关于多项式 $f$ 的分裂域, 如果 $f$ 在 $K[x]$ 中可以完全分解为线性因子(即一次多项式)的乘积, 且 $f$ 在 $K$ 的任何包含 $F$ 的真子域中都无法完全分解为线性因子.

也就是说, $K$ 是使得 $f$ 能完全分解为线性因此的最小的包含 $F$ 的扩域.

参考 [1] 或 [2]

[1] Dummit and Foote 1998, p.448

[2] mathworld.wolfram.com/SplittingField.html

定义(域). 域是指由一个集合 $F$ 以及定义在该集合上的两个运算（加法 ($+$) 和乘法 ($\times$ 或 $\cdot$)）组成的代数结构.

这两个运算必须满足以下性质:

• 封闭性: 对于 $F$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，$a+b$ 和 $a\times b$ 也都在 $F$ 中, 即这两个运算关于 $F$ 是封闭的.
• 结合律: 对于 $F$ 中的所有元素 $a, b, c$，$(a + b) + c = a + (b + c)$ 且 $(a\times b)\times c = a\times (b\times c)$.
• 交换律: 对于 $F$ 中的所有元素 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$ 且 $a\times b = b\times a$.
• 单位元素: 存在 $F$ 中的元素 $0$ 和 $1$，使得对于 $F$ 中的任意元素 $a$，有 $a + 0 = a$ 且 $a\times 1 = a$. 分别称 $0$, $1$ 为 $F$ 中的零元和单位元.
• 逆元: 对于 $F$ 中的每个元素 $a$，存在元素 $b$，使得 $a + b= 0$ (通常记 $b=-a$, 称 $-a$ 为 $a$ 的加法逆元); 对于每个非零元素 $a$，存在元素 $b$, 使得 $a\times b= 1$ (通常记 $b=a^{-1}$, 称 $a^{-1}$ 为 $a$ 的乘法逆元）。
• 分配律: 对于 $F$ 中的所有元素 $a, b, c$，有 $a\times (b + c) = a\times b + a\times c$.

定义. 含有幺元的环 $R$ 的特征 (characteristic) 定义为: 若存在最小的正整数 $n$, 使得 $n\cdot 1=0$, 则称 $R$ 的特征为 $n$; 否则称其特征为 $0$.

注: 为什么写幺元, 因为 1 在汉语中也读作 [yao], 为了突出其特殊性, 将单位元 1 改写为 e, 读作幺[yao].

参见 [1], P.14.

References:

[1] Patrick Morandi, Field and Galois Theory.

在任意交换环中, 最大公因子 gcd 的定义都是有意义的. 但是困难在于两个元素的最大公因子未必存在.

当 $R$ 是一个 UFD (唯一因子分解整环)时, gcd 总时存在.

参见 [1] P. 229.

References:

[1] Patrick Morandi, Field and Galoid Theory, GTM 167.

虚二次域(imaginary quadratic fields)

是指形如 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 的数域, 这里 $D < 0$. 即由有理数域 $\mathbb{Q}$ 添加一个虚数 $\sqrt{D}$ ($D < 0$) 扩张得到的域.

参考文献

[1] Imaginary quadratic number field - Commalg (subwiki.org)

[2] Imaginary Quadratic Field -- from Wolfram MathWorld

$p^n$ 个元素的有限域一般记成 $GF(p^n)$ 或 $\mathbb{F}_q$, 其中 $q=p^n$.  这里 $p$ 是素数.

有限域 $GF(p^n)$ 有一个非常重要的自同构, 即弗罗贝纽斯(Frobenius)自同构.

\[
\begin{array}{rcl}
\sigma:\ GF(p^n)&\rightarrow &GF(p^n)\\
x&\mapsto & x^p
\end{array}
\]

证明 $\sigma$ 是 $GF(p^n)$ 到自身的一个同构.

参考

聂灵沼、丁石孙  著 《代数学引论》

定义. 一个域 $F$ 称为完全域, 若 $F[x]$ 中每个不可约多项式都是可分的.

关于可分多项式(Separable polynomial), 参见

设 $K=F(a)$ 是关于域 $F$ 的一个 Galois 扩张. 令 $f=\min(F,a)$, 则 Galois 群 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 可以视为 $f$ 的所有根组成的置换群(permutation group)的一个子群.

判别式(discriminant)将确定这个子群何时只由偶置换组成.

到十六世纪中叶, 数学家们已经发现了二次、三次以及四次多项式的求根公式.

三次和四次多项式求根公式的成功发现让人们相信任意次数的多项式也有类似的求根公式. 但是, 十九世纪初 Abel 证明了无法找到一个关于任意五次多项式的代数求根公式. Galois 利用他的新理论解释了为何一些多项式有求根公式而另一些则没有.

$\pi$ 和 $e$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上都是超越的.