Questions in category: 域和伽罗瓦理论 (Galois theory)
代数 >> 域和伽罗瓦理论

1. 三次方程的 Cardan 公式

Posted by haifeng on 2016-01-05 22:23:15 last update 2016-01-05 22:25:21 | Answers (0) | 收藏


\[
x^3+ax^2+bx+c=0,
\]

令 $x=y-\frac{a}{3}$, 代入得,

\[(y-\frac{a}{3})^3+a(y-\frac{a}{3})^2+b(y-\frac{a}{3})+c=0.\]

化简,

\[
\begin{split}
\Rightarrow & (y^3-3y^2\cdot\frac{a}{3}+3y(\frac{a}{3})^2-(\frac{a}{3})^3)+a(y^2-2\cdot\frac{a}{3}\cdot y+(\frac{a}{3})^2)+b(y-\frac{a}{3})+c=0.\\
\Rightarrow & y^3 +(b-\frac{a^2}{3})y+(c-\frac{ab}{3}+\frac{2a^3}{27})=0.
\end{split}
\]

也就是化为

\[
y^3+py=q
\]

的形式, 其中 $p=b-\frac{a^2}{3}$, $q=+\frac{ab}{3}-\frac{2a^3}{27}-c$.

 

2. 有限域的例子

Posted by haifeng on 2015-12-15 21:54:01 last update 2015-12-15 21:55:54 | Answers (0) | 收藏


最简单的有限域是 $\mathbb{F}_4$, 它有四个元素 $\{0,1,A,B\}$. 其中 $0$ 是加法单位元, $1$ 是乘法单位元.

所谓加法单位元就是 $0$ 加上任何其他数都等于该数. 乘法单位元 $1$ 是指乘以任何数都等于该数. 所以分别使用我们通常理解的 $0$ 和 $1$ 记之.

$0,1,A,B$ 之间的关系如下图. 

$\cdot$ 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

 

$+$ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0

3. 证明 $\mathbb{F}_2\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_5=\{\bar{0}\}$

Posted by haifeng on 2015-06-30 15:31:30 last update 2015-06-30 19:49:41 | Answers (1) | 收藏


证明 $\mathbb{F}_2\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_5=\{\bar{0}\}$

这里 $\mathbb{F}_2$ 和 $\mathbb{F}_5$ 指有限域.


一般的, 只要 $(p,q)=1$, 都有 $\mathbb{F}_p\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_q=\{\bar{0}\}$.

 


Remark: 问题来自于焦荣政

 

4. 求分裂域

Posted by haifeng on 2014-01-15 20:16:38 last update 2014-01-15 20:16:38 | Answers (0) | 收藏


求多项式 $x^4-2$ 的分裂域.

求多项式 $x^3-2x-2$ 的分裂域.