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几何 >> 黎曼几何 >> 共形几何
Questions in category: 共形几何 (Conformal Geometry).

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相应于带边黎曼流形的两个共形度量之间的曲率关系

Posted by haifeng on 2013-06-17 22:29:10 last update 2013-06-17 22:42:21 | Answers (0) | 收藏

设 $(M^n,g)$ 是一个 $n$ 维带边黎曼流形, $n\geq 3$. 令 $\tilde{g}=u^{\frac{4}{n-2}}g$ 为 $g$ 的共形度量, 其中 $u$ 是一个光滑正函数. 于是相应于这两个度量的数量曲率 $R_g, R_{\tilde{g}}$, 以及平均曲率 $h_g, h_{\tilde{g}}$ 由下面的方程所联系:

\[
\begin{cases}
-\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta_g u+R_g u=R_{\tilde{g}}u^{\frac{n+2}{n-2}}, &\ \text{in}\ M,\\
\frac{2}{n-2}\frac{\partial u}{\partial\nu}+h_g u= h_{\tilde{g}}u^{\frac{n}{n-2}}, &\ \text{on}\ \partial M.
\end{cases}
\]

这里 $\nu$ 是指边界 $\partial M$ 关于度量 $g$ 的外法向量.


试证明之.

特别当 $(M^n,g)$ 为标准球面 $(S^n,g)$ 时, 若记 $f=R_{\tilde{g}}$, 则有

\[
-\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta_{S^n} u+n(n-1)u=f u^{\frac{n+2}{n-2}}, \quad \text{on}\ S^n.
\]

Remark: 若 $f$ 为预给定的 $S^n$ 上的数量曲率函数, 则寻找上面方程的正函数解就是 $S^n$ 上预先给定数量曲率而去求解度量的问题.


References:

Xuezhang Chen · Xingwang Xu, The scalar curvature flow on $S^n$ ---perturbation theorem revisited.  Invent math (2012) 187:395–506. DOI 10.1007/s00222-011-0335-6

M. Ben Ayed, K. EI Mehdi & M. Ould Ahmedou, The scalar curvature problem on the four dimensional half sphere. arXiv:math/0303039v4


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