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Questions in category: Gromov-articles (Gromov-articles).

1

[Gromov]介观曲率和双曲性

Posted by haifeng on 2014-02-17 16:09:13 last update 2014-02-17 21:01:04 | Answers (0) | 收藏

介观曲率和双曲性

Mesoscopic curvature and hyperbolicity

by Misha GROMOV

Dedicated to the memory of Alfred Gray


Remark

介观(百度百科)

介观是介于宏观与微观之间的一种体系。处于介观的物体在尺寸上已是宏观的,因而具有宏观体系的特点;但是由于其中电子运动的相干性, 会出现一系列新的与量子力学相位相联系的干涉现象, 这又与微观体系相似,故称“介观”。

$\text{CAT}(\kappa)$ 空间 (参见问题261)


摘要

这篇文章中我们介绍一个概念 $\text{CAT}_\delta(\kappa)$-空间, 这是介于 $\text{CAT}(\kappa)=\text{CAT}_0(\kappa)$ 和 对应于 $\text{CAT}_\delta(-\infty)$ 的 $\delta$-hyperbolicity (essentially) 的角色. 这使得(本着 Cartan-Hadamard 精神的)从局部到整体的通道对于组合群论(combinatorial group theory)的应用至为方便. 关于证明鲜有新内容: 每样东西都伴随了在 $\text{CAT}(\kappa)$-情形中 "$\delta$-扰动" 的类似论述. [Gro]$_{HG}$ 一文已经对 $\kappa=-\infty$ 的情形做了论述. 而我们对于有限的 $\kappa$ 利用轻微的技术调整或多或少做了相同的事情. 特别的, 我们应该看到, 给定 $\sigma>0$, 单连通空间 $X$ 中的所有 $\sigma$-球如果具有 $\text{CAT}_\delta(\kappa)$ 性质, 则可推出  $X$ 具有 $\delta_1$-双曲性, 其中 $\delta_1<2/\sqrt{-\kappa}$ (对所有 $\kappa<0$),

2

[Gromov]Convex Sets and Kähler Manifolds

Posted by haifeng on 2013-06-20 00:03:47 last update 2014-08-04 21:36:12 | Answers (0) | 收藏

0.1 Brunn-Minkowski 不等式

回忆: 欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中两个集合 $X, Y$ 的 Minkowski sum $X+Y$ 是指下面的集合

\[
\{x+y\in\mathbb{R}^n\mid x\in X,\ y\in Y\}
\]

等价的定义是

\[
X+Y=\cup_{y\in Y}(X+y)
\]

其中 $X+y$ 表示 $X$ 的 $y$-平移, 即是 $X$ 与点 $y$ 的 Minkowski sum.

注意到 $X+Y=Y+X$, 因为在 $\mathbb{R}^n$ 中向量的和是可交换的: $x+y=y+x$.

 

0.1 A. 例子. 设 $X_\varepsilon$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中以原点为中心半径为 $\varepsilon$ 的开球. 于是根据第二个定义, $X_\varepsilon+y$ 是中心在 $Y$ 中的半径为 $\varepsilon$ 的球的并, 通常称为 $Y$ 的 $\varepsilon$-邻域.

0.1 B. Brunn-Minkowski 定理. $X+Y$ 的 (关于 Lebegue 测度的) $n$-维体积有下界

\[
\Bigl(\text{Vol}(X+Y)\Bigr)^{\frac{1}{n}}\geqslant (\text{Vol}X)^{\frac{1}{n}}+(\text{Vol}Y)^{\frac{1}{n}}.
\]


References:

M. Gromov, Convex sets and Kähler Manifolds

3

[Gromov]Monotonicity of the volume of intersection of balls

Posted by haifeng on 2012-12-13 18:06:40 last update 2012-12-14 19:43:09 | Answers (0) | 收藏

Monotonicity of the volume of intersection of balls

www.ihes.fr/~gromov/PDF/16[58].pdf

M. Gromov
I.H.E.S.
France

1. 考虑点 $x_i\in\mathbb{R}^n$, $i=1,\ldots,k$, 且设 $B(x_i,r_i)\subset\mathbb{R}^n$ 是以这些点为中心半径为 $r_i\geqslant 0$ 的球. 令
\[
V(x_i,r_i)=\text{Vol}\bigl(\bigcap_{i}B(x_i,r_i)\bigr).
\]

1.A 定理. 若 $k\leqslant n+1$, 则函数 $V$ 关于 $d_{ij}=\|x_i-x_j\|$ 是单调递减的, 也就是说, 若 $k$-元组 $\{x_i\}_{i=1}^{k}$ 和 $\{x\'_i\}_{i=1}^{k}$ 满足 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$, 则
\[V(x_i,r_i)\leqslant V(x\'_i,r_i).\]

1.B 取一个以原点为中心, 半径为 $r$ 的球面 $S_{r}^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$. 并考虑球 $B_i=B(x_i,r_i)$ 与 $S_{r}^{n-1}$ 相交部分的球面体积:
\[
V_{n-1}(x_i,r_i,r)=\text{Vol}\Bigl(S_{r}^{n-1}\cap\bigcap_i B(x_i,r_i)\Bigr).
\]

1.B\' 引理. 设 $k\leqslant n$, 且有 $\mathbb{R}^n$ 中的 $k$-元组 $\{x_i\}_{i=1}^{k}$ 和 $\{x\'_i\}_{i=1}^{k}$ 满足 $\|x_i\|=\|x\'_i\|$, $\forall\ i=1,\ldots,k$, 和 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$, 则
\[V_{n-1}(x_i,r_i,r)\leqslant V_{n-1}(x\'_i,r_i,r)\]
对所有 $r\geqslant 0$ 和 $r_i\geqslant 0$ 成立.

1. B\'\' 注: 1.B\' 的最重要的情形是当 $\|x_i\|=\|x\'_i\|=r$ 时的情形, 此即 1.A.的球面版本. 注意到 1.B\' 可从 1.A 的球面版本推出, 只要应用 $x_i$ 到球面 $S_r^{n-1}$ 的球面投影, 记像为 $\bar{x}_i$, 而球 $B(x_i,r_i)$ 通过球面投影到 $S_r^{n-1}$ 上的部分可以认为是球 $B(\bar{x}_i,\bar{r}_i)$ 与 $S_r^{n-1}$ 的交. 即
\[
B(\bar{x}_i,\bar{r}_i)\cap S_r^{n-1}=B(x_i,r_i)\cap S_r^{n-1}.
\]

进一步的, 由于 $S_r^{n-1}$ 的几何收敛到 $\mathbb{R}^{n-1}$ 的几何, 1.A 的球面版本推出欧氏版本.

1.C 1.B\' 的证明: 假设 1.B\' 对于给定的 $k$ 和 $n-1$ 成立. 我们证明 1.B\' 对于 $S_r^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 中的 $k+1$-元组成立. 根据上面的注, 我们可以假设问题中的 $k+1$-元组 $(x_0,x_1,\ldots,x_k)$ 满足 $\|x_i\|=r$, $i=0,1,\ldots,k$. 我们也可以假设所比较的两个 $k+1$-元组 $\{x_i\}_{i=0}^{k}$, $\{x\'_i\}_{i=0}^{k}$ 满足 $x_0=x\'_0$. 现在我们在一个额外的技术性假设下来证明关于 $S_r^n$ 的 1.B\'.

(a) Technical Assumption
\[
\|x_i-x_0\|=\|x\'_i-x_0\|=r\'_i,\quad\forall\ i=1,\ldots,k.
\]

问题中的交集是
\[
S_r^n\cap B(x_0,r_0)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)=\bigcup_{t=0}^{r}\Bigl(S^{n-1}(r_t)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr),
\]
其中 $S^{n-1}(r_t)$ 指球面
\[
S^{n-1}(r_t)=S_r^n\cap B(x_0,t).
\]
由归纳假设,
\[
\text{Vol}_{n-1}\Bigl(S^{n-1}(r_t)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr)\leqslant\text{Vol}_{n-1}\Bigl(S^{n-1}(r_t)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x\'_i,r_i)\Bigr)
\]
在假设(a)之下, 通过对 $t$ 积分即得证.
 


2. 将一般情形约化为 (a):

2.A 引理. 设 $\{x_i\}_{i=0}^{k}$, $\{x\'_i\}_{i=0}^{k}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的两个 $k$-元组, $k\leqslant n$. 且满足 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$. 则存在一个连续的含参 $k$-元组 $\{x_i^t\}_{i=0}^{k}$, 使得 $x_i^0=x_i$, $x_i^1=x\'_i$, 并且 $d_{ij}^{t}$ 关于 $t$ 递减.

证明: $x_i$ 与 $x_j$ 之间的距离 $d_{ij}$ 可以用内积 $\langle x_i,x_j\rangle$ 来代替($d_{ij}=|x_i-x_j|=\sqrt{\langle x_i-x_j,x_i-x_j\rangle}$), 并且相关形变是矩阵 $(\langle x_i,x_j\rangle)_{k\times k}$ 和 $(\langle x\'_i,x\'_j\rangle)_{k\times k}$ 之间的线性同伦(linear homotopy).

由于矩阵 $(1-t)(\langle x_i,x_j\rangle)+t(\langle x\'_i,x\'_j\rangle)$ 对所有 $t\in[0,t]$ 是半正定的(positive semidefinite), 故它代表了某个 $k$-元组 $\{x_i^t\}$, 这些点的相互距离是 $d_{ij}^t$.


证明

$(1-t)(\langle x_i,x_j\rangle)+t(\langle x\'_i,x\'_j\rangle)$ 与矩阵 $(\langle x_i,x_j\rangle)_{k\times k}$ 和 $(\langle x\'_i,x\'_j\rangle)_{k\times k}$ 一样是半正定的. 注意若设 $A=(x_1,\ldots,x_k)$, 则 $(\langle x_i,x_j\rangle)_{k\times k}=A^T A$, 这个矩阵一定是半正定的. 参见问题910.
至于为什么 $d_{ij}^t$ 关于 $t$ 是递减的, 我们只需观察到 $(1-t)\langle x_i,x_j\rangle+t\langle x\'_i,x\'_j\rangle$ 关于 $t$ 的导数是 $\langle x\'_i,x\'_j\rangle-\langle x_i,x_j\rangle\geqslant 0$, 这是由条件 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$ 得来的.

证明之小结:
关于 $d_{ij}^t$ 的任意单调同伦可被另一个也是单调(但非严格单调)的同伦逼近, 并且这个同伦在 $[0,1]$ 的每个形如 $\bigl[\frac{\nu}{N},\frac{\nu+1}{N}\bigr]$ 子区间上  has all but one among $d_{ij}^t$ constant in $t$. (这里的 $N$ 的大小取决于逼近的精度要求.)

3. 推论
3.A (Kirszbraun Intersection Property;see[W.W])
设 $x_i,x\'_i\in\mathbb{R}^n$, $i=1,\ldots,k$. 且 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$, 则
\[
\bigcap_{i}B(x_i,r_i)\neq\emptyset\Rightarrow\bigcap_{i}B(x\'_i,r_i)\neq\emptyset.
\]
证明: 令 $m=\max\{n,k-1\}$. 若 $k\leqslant n+1$, 则 $m=n$. 由 1.A, $V(x_i,r_i)\leqslant V(x\'_i,r_i)$, 也即
\[
\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr)\leqslant\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x\'_i,r_i)\Bigr),
\]
若 $\bigcap_{i}B(x_i,r_i)\neq\emptyset$, 则 $\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr)>0$, 因为 $\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)$ 仍是开集. 于是推出 $\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x\'_i,r_i)\Bigr)>0$, 故 $\bigcap_{i}B(x\'_i,r_i)\neq\emptyset$.

3.B 推论.(Kirszbraun; see[W.W])
设 $X$ 和 $Y$ 是(有限维或无穷维的) Hilbert 空间, $X_0\subset X$. 设 $f:X_0\rightarrow Y$ 是一个距离递减的映射. 则 $f$ 可以扩展成为 $X\rightarrow Y$ 的距离递减映射. 进一步的, 对于 Hilbert 球面中的半球面的子集间的映射, 类似的结论也成立.

3.C 设 $e(r)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的单调递减函数, 且使得
\[
\int_{0}^{+\infty}|e(r)|<+\infty.
\]
对每个 $x\in\mathbb{R}^n$, 赋予一个函数 $e_x=e_x(y):=e(|x-y|)$.

3.D Slepian inequality. [S] 对上面的 $x_i$ 和 $x\'_i$,
\[
\int_{\mathbb{R}^n}\Pi_i e_{x_i}\leqslant\int_{\mathbb{R}^n}\Pi_i e_{x\'_i}.
\]
证明: 从 1.A 可推出.


Question: Who is the author of 1.A.? My guess is this was known to Archimedes. Undoubtedly the theorem can be located (in the form 3.D as well as 1.A) somewhere in the 17th century.


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