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几何 >> 凸几何
Questions in category: 凸几何 (Convex Geometry).

1

一个凸多边形, 其内接三角形的面积小于等于 1, 问这个凸多边形的面积的最小上界是多少?

Posted by haifeng on 2016-04-07 23:17:50 last update 2016-04-08 00:10:56 | Answers (0) | 收藏

一个凸多边形, 其内接三角形的面积小于等于 1, 问这个凸多边形的面积的最小上界是多少?

 


[Hint] 首先从直觉上, 我们会认为这样的凸多边形它趋向于一个圆.

为便于理解, 我们可以先考虑边数是 3 的情形, 即三角形. 记这个三角形为 $\Delta_1$, 它的任何内接三角形的面积当然不超过自身. 所以 $S(\Delta_1)\leqslant 1$. 我们需要构造一列面积递增的三角形序列, 并且其直径有上界. 不难证明 $\Delta_n$ 趋向于一个直径等于 $4\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$ 的正三角形.

那么对于边数 $n=4$ 的情形. 设这个序列为 $D_m$, $m=1,2,\ldots$. 其面积 $S(D_m)$ 递增, 并且 $d_m=\text{diam}(D_m)$ 有上界. 这个 $D_m$ 趋向于一个直径等于 $4\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$ 的正方形.

 

最后, 为了证明的严格性, 假设这样的直径(也就是直径的上确界)大于 $4\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$, 则一定可以得到矛盾.

结论: 面积上确界是 $\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$.

 


Remark:

即使题目中将内接三角形限定为只能是由顶点构成的内接三角形, 结论也是一样的. 我们只需要先考虑上面的一般情况就能理解了. 至于这样限定, 并没有多大意义.

 

2

锥体体积公式

Posted by haifeng on 2012-06-03 23:04:48 last update 2012-06-03 23:41:45 | Answers (0) | 收藏

在 $\mathbb{R}^n$ 中, 高为 $h$ 基于 $n-1$ 维凸体的锥体体积为 $Bh/n$, 其中 $B$ 是所基于凸体的体积.

当 $n=2$ 时, 便是三角形的面积公式.

当 $n=3$ 时, 也是熟知的. 不妨以四面体为例. 设四面体由三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 所张成. 则四面体体积为:

\[\text{vol}=\frac{1}{6}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=\frac{1}{3}\cdot\Bigl(\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|\Bigr)\cdot\Bigl(\frac{1}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\cdot|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|\Bigr)=\frac{1}{3}Bh\]

若所基于的 2-维凸体是其他的, 则可以将该凸体划分(三角剖分), 有的情形可能要取极限(比如圆锥体), 从而得证. 

3

求 $n$-维正则单形外接球半径当 $n$ 趋向无穷大时的极限

Posted by haifeng on 2012-06-02 16:20:32 last update 2012-06-02 16:21:19 | Answers (1) | 收藏

这可从问题692推出, 答案是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

4

对于 $n$-维正则单形体, 证明外接球与内切球半径之比是 $n$.

Posted by haifeng on 2012-06-02 15:39:34 last update 2012-06-02 15:47:59 | Answers (1) | 收藏

假定 $A_0 A_1 A_2\cdots A_n$ 是 $n$-维正则单形, 边长为 1. 求外接球与内切球的半径.

比如对于 2 维单形, 这是最简单的, 正三角形有这样的性质: 中心, 外心和内心是同一点, 且该点 1:2 分三角形的高(角平分线, 中线).

剩下的可以通过归纳法完成证明.

5

Lecture 1. 凸几何中的基本概念

Posted by haifeng on 2012-06-02 15:00:22 last update 2012-06-03 23:03:15 | Answers (0) | 收藏

凸几何研究的对象是欧氏空间中的凸子集.

凸集广泛出现在其他数学领域: linear programming, 概率论, 泛函分析, 偏微分方程, 信息论, the geometry of numbers 等等.

尽管凸性是很容易用公式来刻画的一个性质. 但是凸集却有着令人惊叹的丰富结构.

“所有凸集所表现出的性质很像欧氏空间中的球”.


记号:

$|\cdot|$ 表示 $\mathbb{R^n}$ 中的标准范数

$\text{vol}(K)$ 表示物体 $K$ 在某个(有意义)维数下的体积测度.


凸性最基本的原理是 Hahn-Banach 分离定理(凸集分离定理). 其指出凸集是半空间的交, 并且在凸集边界上的任一点, 至少存在一个支撑超平面. 更一般的, 若 $K$ 和 $L$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中不相交的两个紧致凸子集, 则存在一线性泛函 $\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $\phi(x)<\phi(y)$ 对任意 $x\in K$, $y\in L$ 成立.

凸集的例子

$\mathbb{R}^n$ 中最简单的凸集例子是方体 $[-1,1]^n$. 它并不太像欧氏球. 这个方体中最大的球的半径是 1, 而包含该方体的最小的球的半径是 $\sqrt{n}$. 因为方体顶点到原点的距离就是 $\sqrt{n}$. 因此, 随着维数 $n$ 的增长, 方体越来越不像球体.

第二个例子是 $n$-维正则(实心)单形(体), 即由 $n+1$ 个等距分布的点作凸包而成的集合. (所谓等距分布即任两点之间的距离都相等.) 对于这样的 $n$-维正则单形体, 外接球与内切球半径之比是 $n$ (见问题692) 比上面的方体更糟糕.

单形体是锥体(cone)的特例. $\mathbb{R}^n$ 中的锥体(cone)是指一个单点与某个 $n-1$ 维凸体的凸包.

在 $\mathbb{R}^n$ 中, 高为 $h$ 基于 $n-1$ 维凸体的锥体体积为 $Bh/n$, 其中 $B$ 是所基于凸体的体积.


References:

Keith Ball, An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry. [pdf]


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