对于 $n$-维正则单形体, 证明外接球与内切球半径之比是 $n$.
假定 $A_0 A_1 A_2\cdots A_n$ 是 $n$-维正则单形, 边长为 1. 求外接球与内切球的半径.
比如对于 2 维单形, 这是最简单的, 正三角形有这样的性质: 中心, 外心和内心是同一点, 且该点 1:2 分三角形的高(角平分线, 中线).
剩下的可以通过归纳法完成证明.
Answer
问题及解答
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记 $R_n$, $r_n$ 分别为该正则单形的外接球半径和内切球半径. 则有下面的关系式
\[R_{n-1}^2=R_n^2-r_n^2\]
\[R_{n-1}^2+(R_n+r_n)^2=1\]
于是得
\[R_n^2+R_n r_n=\frac{1}{2},\quad\forall\ n\geq 2\]
若已证得 $R_{n-1}=(n-1)r_{n-1}$, 则由上式, 得
\[R_{n-1}^2(1+\frac{1}{n-1})=\frac{1}{2}\]
于是
\[R_{n-1}=\sqrt{\frac{n-1}{2n}}\]
将此代入到上面的递推关系中, 得
\[\begin{cases}R_n^2-r_n^2=\frac{n-1}{2n}\\ (R_n+r_n)^2=1-\frac{n-1}{2n}=\frac{n+1}{2n}\end{cases}\]
从而解得
\[R_n=\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}\quad r_n=\frac{1}{\sqrt{2n(n+1)}}\]
故而
\[R_n=n r_n\]