证明: 质点在中心力场下的运动轨迹是平面曲线.
中心力对中心的力矩(moment)为零 $\vec{r}\times\vec{F}=0$, 从而角动量(angular momentum) $\vec{J}=m\vec{r}\times\vec{v}$ 守恒, 因为
\[
\begin{split}
\frac{d\vec{J}}{dt}&=m\dot{\vec{r}}\times\vec{v}+m\vec{r}\times\dot{\vec{v}}\\
&=m\vec{v}\times\vec{v}+m\vec{r}\times\vec{F}\\
&=0.
\end{split}
\]
角动量守恒即推出粒子的轨迹一定在与 $\vec{J}$ 垂直的某个平面内.
比如, 重力是中心保守力(central conservative force), 其能量(energy)和角动量(angular momentum)都是守恒的, 因此粒子在重力场下的轨迹也被限制于某个平面内.
设粒子的轨迹可被曲线 $\vec{\gamma}:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 所描述. 则运动方程是
\[
\frac{d^2\vec{\gamma}}{dt^2}=F(r)\vec{e}_r
\]
这里约定对于曲线 $\vec{\gamma}$ 有时简记为 $\gamma$. 求解此方程.
References:
Frank C. van den Bosch (天文学家)