求 $x^2+x+\frac{8}{x}$ 在区间 $[1,10]$ 上的极值.

[分析]

记 $f(x)=x^2+x+\frac{8}{x}$, 则 $f'(x)=2x+1-\frac{8}{x^2}$. 令 $f'(x)=0$ 求驻点, 则得到一个一元三次方程.

\[
2x^3+x^2-8=0.
\]

这样用到三次方程的求根公式(关于此公式的历史, 真正的发现者是意大利数学家 Niccolò Fontana. Fontana 由于口吃, 被人称为 Tartaglia. 因此这个公式也叫 Tartaglia 公式. 由于 Fontana 将公式透露给卡尔丹诺, 卡尔丹诺没有遵守承诺保密而自己率先将公式发表, 于是历史上也称此公式为卡尔丹诺公式.)

Chen 告诉我他通过代入三次方程的求根公式, 解得

\[
x_0=\sqrt[3]{\frac{431}{216}+\frac{\sqrt{1290}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{431}{216}-\frac{\sqrt{1290}}{18}}-\frac{1}{6}.
\]

因此, $f(x)$ 在 $x=x_0$ 时, 函数值取得最小.

由此衍生出一个小问题:

Q. 求证 $m^2(2m+n)=(2n)^3$ 无正整数解. 

(如不使用 Fontana 公式, 该如何证明?)

Remark: 问题来源于 David Chen.

References:

Nicolo Tartaglia

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Tartaglia.html