问题

在 $\mathbb{R}^n$ 中, 高为 $h$ 基于 $n-1$ 维凸体的锥体体积为 $Bh/n$, 其中 $B$ 是所基于凸体的体积.

当 $n=2$ 时, 便是三角形的面积公式.

当 $n=3$ 时, 也是熟知的. 不妨以四面体为例. 设四面体由三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 所张成. 则四面体体积为:

\[\text{vol}=\frac{1}{6}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=\frac{1}{3}\cdot\Bigl(\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|\Bigr)\cdot\Bigl(\frac{1}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\cdot|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|\Bigr)=\frac{1}{3}Bh\]

若所基于的 2-维凸体是其他的, 则可以将该凸体划分(三角剖分), 有的情形可能要取极限(比如圆锥体), 从而得证.