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Lecture 1. 凸几何中的基本概念

Posted by haifeng on 2012-06-02 15:00:22 last update 2012-06-03 23:03:15 | Answers (0) | 收藏


凸几何研究的对象是欧氏空间中的凸子集.

凸集广泛出现在其他数学领域: linear programming, 概率论, 泛函分析, 偏微分方程, 信息论, the geometry of numbers 等等.

尽管凸性是很容易用公式来刻画的一个性质. 但是凸集却有着令人惊叹的丰富结构.

“所有凸集所表现出的性质很像欧氏空间中的球”.


记号:

$|\cdot|$ 表示 $\mathbb{R^n}$ 中的标准范数

$\text{vol}(K)$ 表示物体 $K$ 在某个(有意义)维数下的体积测度.


凸性最基本的原理是 Hahn-Banach 分离定理(凸集分离定理). 其指出凸集是半空间的交, 并且在凸集边界上的任一点, 至少存在一个支撑超平面. 更一般的, 若 $K$ 和 $L$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中不相交的两个紧致凸子集, 则存在一线性泛函 $\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $\phi(x)<\phi(y)$ 对任意 $x\in K$, $y\in L$ 成立.

凸集的例子

$\mathbb{R}^n$ 中最简单的凸集例子是方体 $[-1,1]^n$. 它并不太像欧氏球. 这个方体中最大的球的半径是 1, 而包含该方体的最小的球的半径是 $\sqrt{n}$. 因为方体顶点到原点的距离就是 $\sqrt{n}$. 因此, 随着维数 $n$ 的增长, 方体越来越不像球体.

第二个例子是 $n$-维正则(实心)单形(体), 即由 $n+1$ 个等距分布的点作凸包而成的集合. (所谓等距分布即任两点之间的距离都相等.) 对于这样的 $n$-维正则单形体, 外接球与内切球半径之比是 $n$ (见问题692) 比上面的方体更糟糕.

单形体是锥体(cone)的特例. $\mathbb{R}^n$ 中的锥体(cone)是指一个单点与某个 $n-1$ 维凸体的凸包.

在 $\mathbb{R}^n$ 中, 高为 $h$ 基于 $n-1$ 维凸体的锥体体积为 $Bh/n$, 其中 $B$ 是所基于凸体的体积.


References:

Keith Ball, An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry. [pdf]