问题

在经典情形, 即 $\mathbb{R}^n$ 中的分析, 热函数是指热方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u \]

的解. 在抽象情形, 即在圆柱体 $I\times\Omega$ 上定义热函数有多种定义方式. 这里 $I$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个区间, $\Omega$ 是 $X$ 的一个开集. 但不管是如何定义的, 只要满足下面的性质, 我们都认为是可以的.

1. $I\times\Omega$ 上所有热函数的全体是 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间;
2. 若 $I'\subset I$, $\Omega'\subset\Omega$, 则 $I\times\Omega$ 上的任意一个热函数也是 $I'\times\Omega'$ 上的热函数.
3. 对任意 $g\in L^2(\Omega,\mu)$, 函数 $(t,x)\mapsto P_t^{\Omega}g(x)$ 是 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上的一个热函数.
4. 若 $\Omega$ 是相对紧的(relatively compact), 则 $\Omega$ 上的常值函数是 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上某个关于时间独立的热函数在 $\Omega$ 上的限制.
5. (super-mean value inequality)对 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上的任意非负热函数 $u(t,x)$, 总有下述不等式成立: \[ u(t,\cdot)\geqslant P_{t-s}^{\Omega}u(s,\cdot),\quad\text{对所有}\ 0 < s < t. \] (我们要说明的是, 当写成这种形式的不等式时, 即假设它们是针对 $L^2(X,\mu)$ 中的函数的, 而不是指点点这样的.)

$(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})u=0$ 的基本解是

\[
u(x,t)=\dfrac{\exp(-\frac{r^2}{4t})}{(4\pi t)^{n/2}}
\] 

见 [1] P. 101.

Reference:

[1] 丘成桐, 孙理察  著  《微分几何讲义》