问题

题目:  设 $z=u^2\ln v$, 其中 $u=\frac{y}{x}$, $v=x^2+y^2$, 求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$, $\dfrac{\partial z}{\partial y}$.

这是一个复合函数, 将其中的 $u,v$ 代入, 得 $z=(\dfrac{y}{x})^2\ln(x^2+y^2)$.

\[
\begin{split}
\frac{\partial z}{\partial x}&=2\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{-y}{x^2}\cdot\ln(x^2+y^2)+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2\cdot\frac{2x}{x^2+y^2}\\
&=-\frac{2y^2}{x^3}\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{x(x^2+y^2)}.
\end{split}
\]

下面使用 Sowya 进行求导.

>> diff((y/x)^2*ln(x^2+y^2))
input> y/x^2*ln[{x^2+y^2}]
diff> y/x^2*x^2*2*1/x/{x^2+y^2}-y/x^2*2*y/(x*x)/y/x*ln[{x^2+y^2}]

这里 (y/x)^2 被识别为 y/x^2. (待解决.)

改为如下输入就没有问题.

>> diff((y^2/x^2)*ln(x^2+y^2))
input> y^2/x^2*ln[{x^2+y^2}]
diff> y^2/x^2*x^2*2*1/x/{x^2+y^2}-y^2*x^2*2*1/x/(x^2*x^2)*ln[{x^2+y^2}]

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