设 $u:\,\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $C^2$ 函数.
设 $u:\,\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $C^2$ 函数. 满足
\[
\begin{cases}
u(x,0)&=f(x),\quad x\in\mathbb{R}^n,\\
\Delta u(x,y)&=0,\quad x\in\mathbb{R}^n,\ y > 0.
\end{cases}
\]
则 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}}u(x,0)=-u_y(x,0)$. 这里 $-\Delta=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_i^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$. 若记 $\Delta_x=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_i^2}$, 则 $-\Delta=\Delta_x+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$.
定义: 若算子 $T$ 满足 $T^2=-\Delta$, 则称 $T$ 是 $-\Delta$ 的平方根算子, 记作 $T=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$.
证明: 令 $T(f)=-u_y(x,0)$, 这里 $f(x)=u(x,0)$, 我们证明 $T^2=-\Delta$.
事实上,
\[
T(T(f))(x)=T(-u_y(x,0))(x)=u_{yy}(x,0),
\]
又 $u$ 满足 $\Delta u(x,y)=0$, 即 $\Delta_x u(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y)=0$, 从而 $u_{yy}(x,y)=-\Delta_x u(x,y)$.