$\mathbb{R}^n$ 中区域的 Dirichlet 特征值(Dirichlet eigenvalue)
设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界区域, 边界 $\partial\Omega$ 分段光滑. 若存在函数 $u\in C^2(\Omega)\cap C^0(\overline{\Omega})$, 满足下面的 Dirichlet 边值问题
\[
\begin{aligned}
-\Delta u&=\lambda u,\quad\text{in}\ \Omega,\\
u&=0,\quad\text{in}\ \partial\Omega,
\end{aligned}
\]
其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子(Laplace operator) (即, $\Delta=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$). 则称 $\lambda$ 是拉普拉斯算子 $\Delta$ 的一个 Dirichlet 特征值, $u$ 被称为关于该特征值的一个 Dirichlet 特征函数(Dirichlet eigenfunction).
$n=2$ 时的 Dirichlet 特征值是19世纪研究 clamped membrane 的振动而引入的. 事实上, 这些特征值正比于具有固定边界的膜的特征频率的平方. 相关评论和历史注记见[a9].
只要 $\Omega$ 有界并且其边界 $\partial\Omega$ 足够正则(sufficiently regular), 狄利克雷拉普拉斯算子(Dirichlet Laplacian) 具有由无限多个正特征值构成的离散谱, 且没有有限聚点:
\[
0 < \lambda_1(\Omega)\leqslant\lambda_2(\Omega)\leqslant\cdots
\]
(当 $k\rightarrow\infty$ 时, $\lambda_k\rightarrow\infty$.)
Dirichlet 特征值可被极大-极小原理刻画(max-min principle)[a4]:
\[
\lambda_k=\sup\inf\frac{\int_{\Omega}(\nabla u)^2\mathrm{d}x}{\int_{\Omega}u^2\mathrm{d}x},
\]
这里 $\inf$ 指取遍 $H_0^1(\Omega)$ 中与 $\varphi_1,\ldots,\varphi_{k-1}\in H_0^1(\Omega)$ 正交的所有函数 $u$; $\sup$ 取遍 $\{\varphi_i\}_{i=1}^{k-1}$.
对于单连通区域, 根据极大-极小原理([a4]), $\lambda_1(\Omega)$ 非退化并且相应的特征函数 $u_1$ 在 $\Omega$ 的内部是正的.
对于大的 $k$, 第 $k$ 个特征函数的 nodal lines 将 $\Omega$ 分为多于 $k-1$ 个子区域(nodal domains; 这是 Courant's nodal line theorem [a4]). 接此话题, 注意到 A. D. Melas [a11] 关于平面区域的 nodal line conjecture 的证明(若 $\Omega$ 是有界光滑的凸区域, 则 $u_2$ 的 nodal line 总与 $\partial\Omega$ 相交).
Weyl 渐近公式
对于大的 $k$, 若 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, 外尔(H. Weyl)[a17], [a18] 证明了
\[
\lambda_k\approx\frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(C_n|\Omega|)^{2/n}},
\]
这里 $|\Omega|$ 和 $C_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ 分别指 $\Omega$ 的体积和 $\mathbb{R}^n$ 中单位球的体积.
对于 $\mathbb{R}^n$ 中更一般的区域也可以定义 Dirichlet 特征值(见 [a16], p.263), 并且对于定义在黎曼流形中的区域上的 Laplace-Beltrami 算子, 也可以定义 Dirichlet 特征值(见 [a5]).
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