[Def]极小体积
[翻译]
设 $M^n$ 是一 $n$ 维光滑无边流形, 若记 $\mathcal{R}(M)$ 为 $M$ 上所有使截面曲率绝对值小于等于1的完备光滑黎曼度量之集合. 则 $M$ 的极小体积(minimal volumn)定义为
\[
\mathrm{MinVol}(M^n)=\inf\{\mathrm{Vol}(M,g)\mid g\in\mathcal{R}(M)\}.
\]
限制截面曲率绝对值小于等于 1 是使得所定义的量有意义, 否则由公式
\[
\mathrm{Vol}(M,\lambda g)=\lambda^{\frac{n}{2}}\mathrm{Vol}(M,g)
\]
将得到 $\mathrm{MinVol}(M)$ 始终为 0.
如果存在完备光滑的度量使 $M$ 达到其极小体积, 则称这样的度量为极值度量.
根据定义, 流形的极小体积可以是 0 或一正数或是 $+\infty$. 但一般来讲, 要计算一个流形的极小体积是非常困难的. 即使仅判断其是否为 0 或一正数或 $+\infty$ 也是比较困难的.
M. Gromov 证明了极小体积的几个重要性质, 并给出了它与其他不变量(比如 Simplicial Volumn)之间的若干联系.
最重要的是:
Prop. 若紧致流形 $M$ 具有负截面曲率的黎曼度量, 则必有 $\mathrm{MinVol}(M) > 0$.
2 维流形的极小体积问题基本上完全解决.
Prop. 对于闭连通曲面(或 2 维紧致连通流形), 我们有
\[
\mathrm{MinVol}(M)=2\pi |\chi(M)|.
\]
这可以通过 Gauss-Bonnet 定理证明. 注意 $\chi(M)$ 是流形 $M$ 的欧拉示性数. $\chi(M)=2-2g$.
回忆关于 2 维流形, 我们有熟知的分类定理.
定理. 任意紧致连通曲面同胚于下述一种曲面:
\[
S^2,\quad mT^2\quad\text{或}\quad mP^2
\]
这里 $mT^2$ 指球面上安装 $m$ 个环柄而构成的亏格为 $m$ 的曲面. 也就是 $m$ 个作连通和.
\[
mT^2=T^2\# T^2\#\cdots\# T^2
\]
$P^2$ (这里实际上是 $\mathbb{R}P^2$) 指实投影空间. $2P^2$ 即克莱因(Klein)瓶.
于是, 我们有
\[
\begin{aligned}
\mathrm{MinVol}(S^2)&=2\pi|\chi(S^2)|=2\pi|2-2g|=2\pi|2-2\cdot 0|=4\pi\\
\mathrm{MinVol}(T^2)&=2\pi|\chi(T^2)|=2\pi|2-2g|=2\pi|2-2\cdot 1|=0\\
\mathrm{MinVol}(mT^2)&=2\pi|\chi(mT^2)|=2\pi|2-2g|=2\pi|2-2\cdot m|=4(m-1)\pi\\
\mathrm{MinVol}(2P^2)&=0
\end{aligned}
\]
开的连通曲面
比如 $\mathbb{R}^2$, Gromov 首先得到了 $\mathrm{MinVol}(\mathbb{R}^2)$ 的一个上界估计:
\[
\mathrm{MinVol}(\mathbb{R}^2)\leqslant(2+2\sqrt{2})\pi,
\]
并猜测等号是成立的. 这个猜测后来被 Bavard, Panse (1986) 证实是对的. 1993年, B. H. Bowditch 利用球面不等式给出了另一种证法. 开的连通曲面只要存在一个“洞”或一条“线段”, 则其极小体积为零. 因为它们可以嵌入到赋予相应黎曼度量的 $\mathbb{R}^2$ 中.
值得注意的是, 流形的极小体积事实上依赖于流形的光滑结构([19]或[3]), 而维数 3 的流形由于其上的微分结构是唯一的, 因此 $\mathrm{MinVol}$ 与其拓扑有关. [10] 中有关于高维流形特别是 4 维流形的分类讨论. (理论上对于 $\mathrm{MinVol}$ 的计算可起到一定作用.)
三维流形
两个典型的三维流形, $\mathbb{R}^3$ 和 $S^3$
\[
\mathrm{MinVol}(\mathbb{R}^3)=0,\quad\mathrm{MinVol}(S^3)=0.
\]