问题

https://arxiv.org/pdf/1302.2354.pdf

A Short Proof of Klee's Theorem

Author: John Znazzi

Northern Arizona University
Dept. of Mathematics and Statistics
Flagstaff, AZ 86011
Penn State University Mathematics Dept.
University Park, State College, PA 16802

摘要:

1959年, Klee 证明了一个凸体 $K$ 是一个多面体(polyhedron)当且仅当它的所有投影是多边形(polygons). 本文提供了该定理在 $\mathbb{R}^3$ 中的一个新的证明.

1. 介绍 

设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, $C\subset V$. 

集合 $C$ 称为是一个凸锥(convex cone)当且仅当 $C$ 在向量的加法和数乘下是稳定的(is stable under both vector addition and multiplication). (也就是说 $C$ 对于向量的加法和数乘是封闭的.)

【根据凸锥的定义, $0\in C$. 并且若 $\vec{v}\in C$, 则 $-\vec{v}\in C$. 因此凸锥是关于原点中心对称的.

例子: 当 $V=\mathbb{R}^2$, 任意两条过原点的直线所夹区域(边界可以不在里面)是一个凸锥.】

集合 $C$ 称为是多面体(to be polyhedral), 当且仅当 $C$ 是有限多个闭半平面的交.

对于嵌入 $n$ 维仿射空间 $E$ 的一个集合 $K$ 和某点 $p\in K$, 称 $K$ 在点 $p$ 处是 polyhedral, 若 $p$ 的关于 $K$ 的某个邻域是 polyhedral 的.

对于集合 $K\subset E$ 和点 $p\in E$, 我们记 $\mathrm{cone}(p,K)$ 为以 $p$ 为顶点且包含 $K$ 的最小锥.

一个 $j$-平面(flat) 是指 $E$ 的一个 $j$-维仿射子空间. 超平面是指 $E$ 的一个 $n-1$ 维仿射子空间.

H. Mirkil 在 [2] 中证明了下述定理:

定理 1.1 若 $C$ 是一个闭的凸锥(a closed convex cone), 则 $C$ 是 polyhedral 的当且仅当 $C$ 的每个 2 维投影都是闭的.

证明概要. 必要性($\Rightarrow$). $C$ 是闭的凸锥, 且 $C$ 是多面体, 根据定义 $C$ 是有限多个闭半平面的交. 则从代数方程的角度, $C$ 的每个投影也是这种类型的代数线性不等式的解, 从而是多面体. 由于 $C$ 是闭的, 故每个投影也是闭的.

反过来, 充分性($\Leftarrow$)的证明, 其主要思想是这样的: 若 $H$ 是一超平面, 则对 $\forall\ x\in C\cap H$, 存在邻域 $N$, 其不包含 extreme points, 除了 $x$ 之外.

例子 1.2. 设所考虑的向量空间为 $\mathbb{R}^3$, 附有标准的笛卡尔坐标系(Cartesian coordinate system). 令 $C$ 为由 $xy$- 平面支撑的圆锥(circular cone), 支撑的无穷半直线位于 $x$-轴(so that the infinite half-line of support lies on the $x$-axis). 记 $\pi_{(y,z)}(C)$ 为 $C$ 到 $yz$-平面的水平投影(horizontal projection). 我们看到 $\pi_{(y,z)}(C)$ 可以表示为

\[
\pi_{(y,z)}(C)=\{(0,a,b)\ :\ a\in\mathbb{R},\ b > 0\}\cup\{(0,0,0)\}
\]

注意到, 根据定理 1.1,  $\pi_{(y,z)}(C)$ 并不是闭的.

References

[1] V. Klee. Some characterizations of convex polyhedra. Acta Mathematica, 102(1959), 79--107.

[2] H. Mirkil. New characterizations of polyhedral cones. Canadian Journal of Mathematics, 9 (1957), 1--4.