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交比(cross ratio)的定义与性质

Posted by haifeng on 2018-03-14 19:34:33 last update 2018-03-14 19:49:23 | Answers (0) | 收藏


在射影几何中, 假设直线 $\ell$ 上有四个点 $A,B,C,D$. 它们的坐标(在 $\ell$ 上的坐标)分别是 $a,b,c,d$. 则定义这四个点的交比是

\[
[A,B,C,D]:=\frac{c-a}{c-b}:\frac{d-a}{d-b}.
\]

 

性质:交比是射影变换不变量.

 

容易验证交比有下列性质.

\[
\begin{align}
[A,B,C,D]&=[B,A,C,D]^{-1}=[A,B,D,C]^{-1},\\
[A,B,C,D]&=[B,A,D,C]=[C,D,A,B],\\
[A,B,C,D]&=1-[A,C,B,D],\\
\end{align}
\]