问题

定理[Hilbert Nullstellensatz Theorem(希尔伯特零点定理)]

设 $I$ 是 ${}_n\mathcal{O}_0$ 中的任意一个理想, 则有 $\sqrt{I}=\mathrm{id}\mathrm{loc}(I)$.

这里, $\mathrm{loc}(I)$ 是理想 $I$ 的零点集合, 而 $\mathrm{id}\mathrm{loc}(I)$ 是指由 $\mathrm{loc}(I)$ 生成的理想. (这些基本概念参见问题1941)

根理想 $\sqrt{I}$ 定义为

\[
\sqrt{I}=\{f\in{}_n\mathcal{O}_0\mid \exists\ k\in\mathbb{Z}^+,\ \text{s.t.}\  f^k\in I\}.
\]