问题

根据代数基本定理, 可知实数域的代数闭包是复数域. 即 $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C}$.

[Def]代数闭包(algebraic closure), 域 $K$ 的一个代数扩张如果是代数闭的, 则称是域 $K$ 的代数闭包.

利用 Zorn 引理, 可以证明每个域存在一个代数闭包. 并且域 $K$ 的代数闭包在保持 $K$ 中每个元素不动的同构意义下是惟一的. 正因此性质, 我们通常将域 $K$ 的代数闭包, 而不是讲域 $K$ 的一个(某个)代数闭包.

有理数域的代数闭包是代数数构成的域.

References:

http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/04/Algebraic-closure.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_closure