问题

本文译自

Vilmos Komornik, Paola Loreti and Marco Pedicini, An Approximation Property of Pisot Numbers. Journal of Number Theory 80, 218-237 (2000).

 设 $q>1$. 在 P. Erdös 等人[2]的启发下, 人们研究下面这些数.

$${\ell }^m(q):=inf\{y:y\in {\mathrm{\Lambda }}_m,y\ne 0\},m=1,2,\dots$$

其中

$${\mathrm{\Lambda }}_m:=\{y\mid y={\epsilon }_0+{\epsilon }_{1}q+{\epsilon }_2{q}^2+\cdots +{\epsilon }_n{q}^n\},$$

这里 $n$ 是任意大于等于零的整数. 系数 ${\epsilon }_i$ 都是整数, 取值范围限定为 $-m⩽{\epsilon }_i⩽m$,

已证明

$$q\text{是 Pisot 数}\iff {\ell }^m(q)>0,\mathrm{\forall }m.$$

References:

[1] P. Erdös, I. Joo, and V. Komornik, Characterization of the unique expansion $1=\sum q^{-n}$ and related problems, Bull. Soc. Math. France 118 (1990), 377-390.