问题

求实数加法群 $(\mathbb{R},+)$ 的自同构群.

[Hint]

若简记 $\mathbb{R}=(\mathbb{R},+)$,群 $\mathbb{R}$ 的单位元是 $0$.

\[
\text{Aut}(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\mid f\ \text{是自同构}\}
\]

$f$ 是自同构当且仅当 $f$ 是双射, 且是同态, 即 $f(x+y)=f(x)+f(y)$. 从而 $f(0)=0$.

$f(2)=2f(1)$, $f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)$. 容易验证 $f(x)=xf(1)$.

因此只要确定 $f(1)\neq 0$, 就确定了自同构 $f$.

因此 $g(f(x))=g(xf(1))=xf(1)g(1)$. 所以 $\text{Aut}(\mathbb{R})=\mathbb{R}^*$.