问题

序言

0.1 代数几何

如名称所示, 代数几何是代数到几何的一个连接. 例如, 圆这个几何对象, 可以用满足如下多项式

\[x^2+y^2-1=0\]

的平面中的点来描述. 于是代数几何经常被描绘成对那些可以用多项式描述的几何对象的研究.

第一章 圆锥曲线(Conics)

线性代数研究最简单的几何对象, 比如直线和平面. 平面中的直线是线性多项式或一次多项式的零点集, 例如 $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 3x+4y-1=0\}$. 但是还有很多的平面曲线而不只是直线.

我们从圆锥曲线开始, 它是二次多项式的零点集. 典型的圆锥曲线是圆:

\[
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x^2+y^2-1=0\}.
\]

尽管看上去很简单, 二次方程及其解的理解是代数几何的开始. 到这一章结束, 我们将得到一些漂亮的数学.

1.1 实数域上的圆锥曲线

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这一节的主要目标是理解平面 $\mathbb{R}^2$ 中的圆锥曲线以及如何画出它们.

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对于二次多项式, 通常只要通过手绘你就可以得到相应曲线的相当好的图像. 第一个系列的练习将引导你穿越这个过程. 我们的目标是发展一些基本的技术以便思考曲线而不用担心太多的技术细节.

我们从多项式 $P(x,y)=y-x^2$ 开始, 并查看其零点集

\[
\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ P(x,y)=0\}.
\]

我们也记这个集合为 $V(P)$.

Exer 1.1.1. 证明对于任何点 $(x,y)\in\mathcal{C}$, 我们有

\[(-x,y)\in\mathcal{C}.\]

于是曲线 $\mathcal{C}$ 关于 $y$-轴是对称的.

Exer 1.1.2. 证明如果 $(x,y)\in\mathcal{C}$, 则我们有 $y\geqslant 0$.

Exer 1.1.3. 对于点 $(x,y)\in\mathcal{C}$, 证明如果 $y$ 趋向于无穷, 则对应的 $x$ 坐标中的一个也趋于无穷大, 而另一个趋于负无穷大.

这两个习题表明曲线 $\mathcal{C}$ 在 $x$-轴的正向和负向都是无界的, 在 $y$-轴的正向也是无界的, 但是在 $y$-轴的负向是有界的. 这意味着当 $x$ 任意大, 或者在 $x$-轴的正向或者在 $x$-轴的负向我们总可以找到 $(x,y)\in\mathcal{C}$, $y$ 在其正向可以任意大, 但是存在一个数 $M$(这里的情况是 $0$)使得 $y\geqslant M$(这里是 $y\geqslant 0$).

Exer 1.1.4. 画出曲线 $\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ P(x,y)=0\}$ 的草图.

具有这些对称性和有界性性质的并且看上去与曲线 $\mathcal{C}$ 相像的曲线称为抛物线(parabolas). 当然, 我们可以分析曲线 $\{(x,y)\ :\ x-y^2=0\}$ 并作出类似的观察, 不过 $x$ 与 $y$ 的角色进行了互换. 事实上, 我们可以用多种方式平移, 拉伸及旋转我们的抛物线, 并且仍然保持这些基本性质.

我们现在对于下面的平面曲线进行一个类似的分析

\[
\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \biggl(\frac{x^2}{4}\biggr)+\biggl(\frac{y^2}{9}\biggr)-1=0\}.
\]

Exer 1.1.5. 证明: 如果 $(x,y)\in\mathcal{C}$, 则这三点 $(-x,y),(x,-y)$ 和 $(-x,-y)$ 也在 $\mathcal{C}$ 上. 于是曲线 $\mathcal{C}$ 关于 $x$-轴和 $y$-轴是对称的.

Exer 1.1.6. 证明对于任意点 $(x,y)\in\mathcal{C}$, 我们有 $|x|\leqslant 2$ 且 $|y|\leqslant 3$.

这表明曲线 $\mathcal{C}$ 在 $x$ 和 $y$ 的正负方向都有界.

Exer 1.1.7. 画出 $\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \biggl(\frac{x^2}{4}\biggr)+\biggl(\frac{y^2}{9}\biggr)-1=0\}$ 的草图.

具有这些对称性和有界性性质的并且看上去与曲线 $\mathcal{C}$ 相像的曲线称为椭圆(ecllipses).