二次曲面的分类
对任何一个非空二次曲面 $\Sigma$ 都存在空间直角坐标系, 使得 $\Sigma$ 在此直角坐标系中的方程是下列 14 种形式之一.
(1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, 图像为椭球面.
(2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$, 图像为一点.
(3) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 图像为单叶双曲面.
(4) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$, 图像为双叶双曲面.
(5) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$, 图像为椭圆抛物面.
(6) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$, 图像为双曲抛物面.
(7) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$, 图像为二次锥面.
(8) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 图像为椭圆柱面.
(9) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$, 图像为一条直线.
(10) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, 图像为双曲柱面.
(11) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$, 图像为两张相交平面.
(12) $x^2=2py$, 图像为抛物柱面.
(13) $x^2=a^2$, 图像为两张平行平面.
(14) $x^2=0$, 图像为一张平面.
References:
尤承业 编著 《解析几何》 北京大学出版社，2004年