过抛物面外一点作该抛物面的切线
设 $S$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的抛物面 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$, $P=(a,b,c)$ 为 $S$ 外一固定点, 满足 $a^2+b^2>2c$. 过 $P$ 作 $S$ 的所有切线.
证明: 这些切线的切点落在同一张平面上.
Remark: $a^2+b^2>2c$ 这个条件就是保证 $P$ 点在抛物面的“外面”. 由于此抛物面开口向上, 可以认为 $P$ 点在抛物面的“下方”.
Answer: 所有切点都落在平面 $ax+by-z=c$ 上.
特别的, 如果 $P=(0,0,c)$, $c<0$. 则所有切点都落在平面 $z=-c$ 上.