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流形上的 Laplace 算子

Posted by haifeng on 2014-04-05 11:10:52 last update 2014-08-20 11:12:31 | Answers (3) | 收藏


设 $f$ 是黎曼流形 $(M^n,g)$ 上的一个 $C^k$ 函数($k\geqslant 2$). 定义 $f$ 的 Laplacian 为

\[\Delta f:=\text{div}(\text{grad}f).\]

则 $\Delta f\in C^{k-1}$.

这里 $\text{grad}f$ 是 $f$ 的梯度向量场, 定义为: 对 $M$ 上的任意向量场 $\xi$, 都有

\[\langle\text{grad}f, \xi\rangle=\xi f.\]

其中 $\xi f$ 是沿 $\xi$ 方向对 $f$ 的方向导数.

而散度 $\text{div}X$ 的定义为

\[\text{div}X=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}X).\]


证明:

(1)

\[
\begin{aligned}
\text{div}(X+Y)&=\text{div}X+\text{div}Y,\\
\text{div}(fX)&=f(\text{div}X)+\langle\text{grad}f,X\rangle.\\
\end{aligned}
\]

(2)

\[
\begin{aligned}
\Delta(f+h)&=\Delta f+\Delta h,\\
\text{div}(h(\text{grad}f))&=h(\Delta f)+\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle,\\
\Delta(fh)&=h(\Delta f)+2\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle+f(\Delta h).\\
\end{aligned}
\]


下面使用局部坐标写出上面这些算子的表达式. 设 $U$ 是 $M$ 的一个开集, $p\in U$. $x:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是 $U$ 映到 $\mathbb{R}^{n}$ 中某区域的一个微分同胚, 也就是 $x$ 是一个图卡. 则相应于此图卡, 有 $n$ 个向量场, $\partial_j:=\frac{\partial}{\partial x^j}$, $j=1,2,\ldots,n$. 沿这些方向的方向导数为

\[
(\partial_j(p))f=\frac{\partial(f\circ x^{-1})}{\partial x^j}(x(p)).
\]

对每一点 $p\in U$, 向量 $\{\partial_1(p),\ldots,\partial_n(p)\}$ 张成了 $M_p$(=$T_p(M)$). 因此对于 $M$ 上的向量场 $\xi$, 有

\[\xi=\sum_{j=1}^{n}\xi^j\partial_j.\]

从而对于 $f\in C^1(M)$, 有

\[
\xi f=\sum_j\xi^j\partial_j f.
\]

\[
\text{grad}(f)=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_{\ell}f)\partial_{k}.
\]

对于给定的黎曼度量 $g$, 记 $g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle_g$. 设 $u\in C^{k}(M)$, $k\geqslant 2$. $X$ 是 $M$ 上的 $C^1$ 向量场. 局部表示为 $X=\sum_j X^j\partial_j$, 证明:

\[
\text{grad}f=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_\ell f)\partial_k,
\]

\[
\text{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\sum_j\partial_j(X^j\sqrt{\det(g_{ij})}),
\]

\[
\Delta u=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\partial_k\bigl(\sqrt{\det(g_{ij})}g^{k\ell}\partial_\ell u\bigr).
\]

 


References:

Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, 1984.