问题

黎曼流形 $(M,g)$ 上的向量场 $X$ 称为是 Killing 向量场, 当且仅当 $L_X g=0$, 或等价的, 当且仅当

\[
(L_X g)(Y,Z)=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X)=0,\quad\forall\ Y, Z\in\Gamma(TM)
\]

Pf.

根据李导数的性质（参见问题1131）

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots,Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots,Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots,Y_p),
\]

其中 $T$ 是 $(0,p)$-型张量. 以及 $L_X Y=[X,Y]$, 有

\[
\begin{split}
(L_X g)(Y,Z)&=Xg(Y,Z)-g(L_X Y,Z)-g(Y,L_X Z)\\
&=Xg(Y,Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])\\
&=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])\\
&=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X).
\end{split}
\]

这里用到了 Levi-Civita 联络的无挠性 $\nabla_X Y-\nabla_Y X=[X,Y]$.

因此

\[
(L_X g)(Y,Z)=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X).
\]