问题

Riemann zeta 函数最初是由 Euler 提出并研究.  zeta 函数 $\zeta(s)$ 定义为

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},\quad s\in\mathbb{R},\]

当 $s>1$ 时级数收敛. 他发现这个函数与素数有着很深的联系, 

\[
\zeta(s)=\prod_{p\in\mathrm{PRIMES}}\frac{1}{1-p^{-s}}.
\]

由于它与素数的分布有关, 因此是数论中一个非常重要的函数. 这个函数在其他领域如物理, 概率论以及应用统计学中都有很多应用.

Riemann(德国著名的数学家 Bernhard Riemann) 将其扩展定义到整个复平面上, 除了单极点 $s=1$. 即 $\zeta(s)$ 可解析延拓到 $\mathbb{C}\setminus\{1\}$ 上. 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\ldots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. 黎曼假设(Riemann hypothesis)就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.

黎曼假设(Riemann hypothesis)是关于 Riemann zeta 函数的零点分布的一个猜想. 这是纯数学中到目前为止尚未解决的最重要的问题之一. 许多数学家都为此作出了不懈努力.

Conjecture (The Riemann Hypothesis)

All the zeros $\rho=\beta+i\gamma$ of $\zeta(s)$ in the critical strip have $\beta=\frac{1}{2}$.

黎曼猜想(黎曼假设)

Zeta 函数 $\zeta(s)$ 在 critical strip 中的所有零点 $\rho=\beta+i\gamma$ 都满足 $\beta=\frac{1}{2}$. 

$-2k$, $k\in\mathbb{Z}^+$ 是其平凡零点, 黎曼猜想说的是 $\zeta(s)$ 的非平凡零点都位于直线 $x=\frac{1}{2}$ 上.

Riemann's paper served almost as a blueprint for research on the zeta-function for the next 45 years.

• Hadamard (1893) proved the product formula $\zeta(s)=\zeta(0)\prod_{\rho}(1-\frac{s}{\rho})$, and $N(T)\ll T\log T$.
• von Mangoldt (1895) proved the explicit formula for $\pi(x)$ and $\psi(x)$
  \[\psi(x)=\sum_{n\leqslant x}\Lambda(x)=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{-2n}}{2n}-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} .\]
• Hadamard and de la Vallée Poussin (1896) independently proved the PNT.

这里 $N(T)$ 是指满足 $0 < \gamma\leqslant T$ 的非平凡零点 $\rho=\beta+i\gamma$ 的数目. 黎曼证明了当 $T\rightarrow\infty$ 时,

\[
N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T).
\]

广义黎曼假设 (Grand Riemann Hypothesis, 简写为 GRH)

指用 Dirichlet $L$ 函数代替黎曼猜想中的 Riemann-Zeta 函数, 其他表述不变.

PNT 指 Prime Number Theorem

其他阅读材料

Riemann 猜想漫谈（by 卢昌海）

http://changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php

References:

原文: THE RIEMANN HYPOTHESIS
作者: ENRICO BOMBIERI