问题

设 $M$ 为 $n$ 维光滑黎曼流形, $A(M)$ 是 $M$ 上微分形式集合. $\omega\in A(M)$. $X,Y,Y_i$ 均是 $M$ 上的向量场.
 

(1) $L_X\circ i(Y)-i(Y)\circ L_X=i([X,Y])$

(2) $L_X\circ L_Y-L_Y\circ L_X=L_{[X,Y]}$

(3) $d\circ i(X)+i(X)\circ d=L_X$

(4) $d\circ L_X=L_X\circ d$

(5) $i(X)L_X=L_X i(X)$

(6) $L_{fX}\omega=fL_X \omega+df\wedge i(X)\omega$, 其中 $f\in A^0(M)$, $\omega\in A(M)$.

(7) $L_X i(Y)-L_Y i(X)-i([X,Y])=[d,i(X)\circ i(Y)]$

第一题要用到下面的结论

(0) 设 $\omega\in A^r(M)$, 则

\[
(L_X\omega)(Y_1,\ldots,Y_r)=X\bigl(\omega(Y_1,\ldots,Y_r)\bigr)-\sum_{i=1}^{r}\omega(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots,Y_r)
\]

这是基础.

以上一些结论可以推广到一般的 $(0,p)$-型张量.