问题及解答

若 $f\in\text{Lip}(\alpha)$, $\alpha>1$, 则 $f$ 是常值函数.

$\text{Lip}(\alpha)$ 是指所有 Lipschitz 函数全体组成的空间, 容易证明这是一个线性空间.

References:

Lipschitz Functions, by Lorianne Ricco

设 $f$ 是 $I\subset\mathbb{R}$ 上的 $\alpha$ 阶 Lipschitz 函数, 因此存在正数 $M$,对于任意的 $x_1,x_2\in I$, 都有

\[
|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant M|x_1-x_2|^{\alpha}.
\]

因此 对于 $x_1\neq x_2$,

\[
\frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}\leqslant M |x_1-x_2|^{\alpha -1}
\]

由于 $\alpha >1$, 故当 $|x_1-x_2|\rightarrow 0$ 时, 有

\[
\lim_{|x_1-x_2|\rightarrow 0}\frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}=0.
\]

这说明, $f$ 的导数处处为零, 因此 $f=\text{const.}$.