问题及解答

$n$ 维闭球到自身的任何连续映射都有不动点.

即任何连续映射 $f:\ D^n\rightarrow D^n$ 都必有不动点.

可以用 Brouwer 不动点定理证明若当曲线定理. 参见[1].

References:

[1] Rami Luisto, Proof of the Jordan curve theorem.

(反证法) 假设存在没有不动点的映射 $f:\ D^n\rightarrow D^n$. 于是对任意 $x\in D^n$, $f(x)\neq x$, 因此, $x,f(x)$ 可以确定一条直线. 以 $f(x)$ 为起点, 经过 $x$ 点作射线, 记此射线与 $\partial D^n=S^{n-1}$ 的交点为 $g(x)$. 这样得到一个映射

\[g:\ D^n\rightarrow S^{n-1}\]

并且显然 $g|_{S^{n-1}}=\mathrm{id}$.

Claim 1. $g$ 是连续的.

Pf. 由于 $g(x)$ 在 $x$ 和 $f(x)$ 的连线上, 故可设

\[g(x)=f(x)+t(x-f(x)),\]

其中 $t=t(x) > 0$,  使得 $|g(x)|=1$. 即

\[\bigl\langle f(x)+t(x-f(x)),f(x)+t(x-f(x))\bigr\rangle=1\]

这推出

\[|f(x)|^2+2t\langle f(x),x-f(x)\rangle+t^2|x-f(x)|^2=1.\]

如果记 $a(x)=|x-f(x)|^2 > 0 $, $b(x)=\langle f(x),x-f(x)\rangle$, $c(x)=|f(x)|^2-1\leqslant 0$, 则上式变为

\[a(x)t^2+2b(x)t+c(x)=0.\]

其根为

\[t=\frac{-b(x)\pm\sqrt{b^2(x)-a(x)c(x)}}{a(x)}.\]

由于 $t=t(x) > 0$. 因此要取正的根.

对于使得 $c(x) < 0$ 的 $x$, 有惟一的正根

\[t=\frac{-b(x)+\sqrt{b^2(x)-a(x)c(x)}}{a(x)}.\]

对于使得 $c(x)=|f(x)|^2-1=0$ 的 $x$, 我们有

\[b(x)=\langle f(x),x-f(x)\rangle=\langle f(x),x\rangle-|f(x)|^2=\langle f(x),x\rangle-1 < |f(x)|\cdot|x|-1=0.\]

这里应用了 Cauchy-Schwarz 不等式, 并注意到 $f(x)\neq x$. 因此此时取 $t=-\frac{2b(x)}{a(x)} > 0$.

因此, 这样定义的 $g$ 是连续映射.

Q.E.D of Claim 1.

但是 $S^{n-1}$ 不是 $D^n$ 的收缩核 (见问题901), 故矛盾.

因此, 任意连续映射 $f:\ D^n\rightarrow D^n$ 都有不动点.

References:

张筑生 编著 《微分拓扑讲义》 北京大学出版社.

(方法二)

与上面的方法一样, 假设存在无不动点的映射 $f:\ D^n\rightarrow D^n$. 即 $f(x)\neq x$, $\forall\ x\in D^n$. 对每个 $x$, 将直线段 $\overline{f(x)x}$ 以 $f(x)$ 为起点延伸直到 $D^n$ 的边界, 记为 $g(x)\in S^{n-1}$. 这样得到映射

\[g:\ D^n\rightarrow D^n\]

这是一个连续映射.(上面已证明, 并且如果 $f$ 是光滑的, 则 $g$ 也是光滑的.)

设 $\omega$ 是 $S^{n-1}=\partial D^n$ 上的处处非零的 $n-1$ 形式, 且满足

\[\int_{\partial D^n}\omega=1.\]

则

\[1=\int_{\partial D^n}\omega=\int_{\partial D^n}g^*\omega,\]

第二个等号是因为 $g|_{S^{n-1}}=\mathrm{id}$. 而根据 Stokes 定理

\[\int_{\partial D^n}g^*\omega=\int_{D^n}d(g^*\omega)=\int_{D^n}g^*(d\omega)=0\]

最后一个等号是因为 $\omega$ 是 $S^{n-1}$ 上的最高次微分形式, $d\omega=0$.

从而导出矛盾 $1=0$.

Remark:

第二种方法要求所考虑的映射 $f$ 是光滑映射.  但是条件中的 $f$ 仅是连续的, 我们可以通过构造, 能找到光滑映射 $g:\ D^{n}\rightarrow S^{n-1}$, 使得 $g|_{S^{n-1}}=\mathrm{id}$. (具体构造参见问题901.)