问题及解答

设 $f(x)$  是周期为 $T$ 的周期函数, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数. 则 $F(x)$ 以 $T$ 为周期当且仅当 $F(T)=F(0)$.

Pf. 只需证明充分性.

设 $F(T)=F(0)$. 根据题设,

\[
\bigl(F(x+T)\bigr)'=F'(x+T)\cdot 1=f(x+T)=f(x)=F'(x),\quad\forall\ x\in D_f.
\]

因此 $F(x+T)-F(x)=C$. 令 $x=0$, 得 $F(T)-F(0)=C$. 而 $F(T)=F(0)$, 故 $C=0$. 这推出 $F(x+T)=F(x)$.