设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可微, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(f(x)+f'(x))=\ell$, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell$.
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[分析] 首先从 $f(x)+f'(x)$ 这个表达式让我们联想到 $e^x f(x)$ 的导数:
\[\bigl(e^x f(x)\bigr)'=(e^x)'\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=e^x[f(x)+f'(x)].\]
于是
\[
f(x)+f'(x)=\frac{\bigl(e^x f(x)\bigr)'}{e^x}=\frac{\bigl(e^x f(x)\bigr)'}{(e^x)'},
\]
由此, 又联想到应该和 Cauchy 中值定理有关系.
证明: 令 $F(x)=e^x f(x)$, $G(x)=e^x$, 任取 $b > a$, 则 $F(x)$ 和 $G(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可微, 且 $G'(x)=e^x\neq 0$, 即满足 Cauchy 微分中值定理的条件, 于是存在 $\xi\in(a,b)$, 使得
\[
\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=f(\xi)+f'(\xi),
\]
令 $x\rightarrow+\infty$, 此时 $\xi\rightarrow+\infty$. 两边取极限, 得
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\lim_{\xi\rightarrow+\infty}\bigl[f(\xi)+f'(\xi)\bigr]=\lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl[f(x)+f'(x)\bigr],
\]
这推出
\[
\begin{split}
&\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x f(x)-e^a f(a)}{e^x-e^a}=\ell\\
\Rightarrow\ &\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)-\frac{e^a}{e^x}f(a)}{1-\frac{e^a}{e^x}}=\ell\\
\Rightarrow\ &\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell.
\end{split}
\]
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证明: 令 $F(x)=e^x f(x)$, 则 $f(x)=\frac{F(x)}{e^x}$, 由于 $e^x\rightarrow+\infty$ ($x\rightarrow+\infty$), 而 $F(x)$ 和 $e^x$ 均可微, 故下面的极限可以应用 L'Hôpital 法则.
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{F(x)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{F'(x)}{(e^x)'}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x\bigl(f(x)+f'(x)\bigr)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl[f(x)+f'(x)\bigr]=\ell.
\]