问题及解答

计算二重积分

\[
\iint_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\mathrm{d}\sigma,
\]

其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0\}$.

令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, 其中 $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$, $r\in[0,1]$. 从而

\[
\begin{split}
\text{原积分}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_0^1 \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}r\mathrm{d}r\\
&=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}\mathrm{d}r^2\\
&\stackrel{t=r^2}{=}\frac{\pi}{4}\int_0^1\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\mathrm{d}t,
\end{split}
\]

根据问题3410, 

\[
\int_0^1\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}-1.
\]

故

\[
\text{原积分}=\frac{\pi}{4}\cdot\Bigl(\frac{\pi}{2}-1\Bigr)=\frac{\pi}{8}(\pi-2).
\]