问题及解答

利用“对称性”（积分区域的对称性以及函数的奇偶性）计算下列二重积分.

(2)  $\displaystyle\iint_{D}(5xy^2+3x^2 y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,  其中 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0\}$.

$D$ 关于 $x$ 轴对称, 而函数 $5xy^2$ 关于 $y$ 是偶函数, $3x^2 y$ 关于 $y$ 是奇函数, 若记 $D_1=\{(x,y)\in D\mid y\geqslant 0\}$, 则

\[
\text{原积分}=\iint_{D} 5xy^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{D} 3x^2 y\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{D_1} 5xy^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\ .
\]

在 $D_1$ 上, 利用极坐标将二重积分化为累次积分, 

\[
\begin{split}
\text{原积分}&=10\iint_{D_1}xy^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=10\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r\cos\theta\cdot r^2\sin^2\theta\cdot r\mathrm{d}r\\
&=10\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cdot\cos\theta\mathrm{d}\theta\cdot\int_0^1 r^4\mathrm{d}r=10\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cdot\cos\theta\mathrm{d}\theta\cdot(\frac{1}{5}r^5)\biggr|_0^1\\
&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\mathrm{d}\sin\theta\stackrel{t=\sin\theta}{=}2\int_0^1 t^2\mathrm{d}t=\frac{2}{3}.
\end{split}
\]

当然也可以将 $D_1$ 看作 $Y$-型区域化为累次积分.

\[
\begin{split}
10\iint_{D_1}xy^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=10\int_0^1\mathrm{d}y\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}xy^2\mathrm{d}x=10\int_0^1 y^2\mathrm{d}y\cdot\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}x\mathrm{d}x\\
&=10\int_0^1 y^2\mathrm{d}y\cdot(\frac{1}{2}x^2)\biggr|_{0}^{\sqrt{1-y^2}}=10\int_0^1 y^2\mathrm{d}y\cdot\frac{1}{2}(1-y^2)\\
&=5\int_0^1 y^2(1-y^2)\mathrm{d}y=5\int_0^1(y^2-y^4)\mathrm{d}y=5\cdot(\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{5}y^5)\biggr|_{0}^{1}\\
&=\frac{2}{3}.
\end{split}
\]