设 $f(x)\in C([-1,1])$, 证明
\[\iint\limits_D f(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-1}^{1}f(u)\mathrm{d}u,\]
其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|+|y|\leqslant 1\}$.
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令 $\begin{cases}u=x+y,\\ v=x-y\end{cases}$, 这是一个线性变换, 将闭区域 $D$ 变换为 $D'$.
由于 $|x+y|\leqslant |x|+|y|\leqslant 1$, $|x-y|\leqslant |x|+|y|\leqslant 1$, 故 $D'$ 为 $u,v$ 空间中以原点为中心的一个闭的正方形区域, 即 $D'=[-1,1]\times [-1,1]$.
可以解得 $\begin{cases}x=\frac{1}{2}(u+v),\\ y=\frac{1}{2}(u-v)\end{cases}$.
变换的 Jacobian 行列式为
\[
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}
x'_u & x'_v\\
y'_u & y'_v
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}.
\]
于是
\[
\begin{split}
\iint_D f(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\iint_{D'}f(u)\cdot\left|-\frac{1}{2}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\
&=\int_{-1}^{1}\mathrm{d}v\int_{-1}^{1}f(u)\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}u\\
&=\int_{-1}^{1}f(u)\mathrm{d}u
\end{split}
\]