在证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$ (此处 $a > 0$) 的过程中我们要用到一个不等式
\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad x\geqslant -1.
\]
此不等式称为 Bounulli 不等式.
当 $x\geqslant 0$ 时证明很直接.
\[
(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots+x^n\geqslant 1+ nx.
\]
易见, $n\geqslant 2$ 时, 等号成立当且仅当 $x=0$.
当然, 对于一般的 $x\geqslant -1$, 可以用归纳法证明 Bernoulli 不等式.
事实上, 这个不等式有更一般的形式. 设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 是 $n$ 个同号的实数, 且均大于 $-1$. 则有下面的不等式:
\[
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant 1+x_1+x_2+\cdots+x_n.
\]
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我们证明伯努利不等式的一般形式.
记 $A_n=(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)-(1+x_1+x_2+\cdots+x_n)$, 则
\[
\begin{split}
A_{n+1}-A_n&=(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)(1+x_{n+1})-(1+x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1})\\
&\quad -\bigl[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)-(1+x_1+x_2+\cdots+x_n)\bigr]\\
&=(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)x_{n+1}-x_{n+1}\\
&=x_{n+1}\cdot\bigl[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)-1\bigr].
\end{split}
\]
当 $x_i$ 均大于0 时, $(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) > 1$; 当 $x_i$ 均为负数且大于 $-1$ 时, 即 $0 < 1+x_i < 1$, 有 $(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) < 1$; 不管哪种情形, 都有
\[
x_{n+1}\cdot\bigl[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)-1\bigr] > 0.
\]
因此 $A_{n+1} > A_n$. 而
\[
A_2=(1+x_1)(1+x_2)-(1+x_1+x_2)=x_1 x_2 >0,
\]
因此 $A_n > 0$, 对所有 $n\geqslant 1$ 成立. 故
\[
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) > 1+x_1+x_2+\cdots+x_n.
\]