问题及解答

在证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$ (此处 $a > 0$) 的过程中我们要用到一个不等式

\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad x\geqslant 0.
\]

此不等式称为 Bounulli 不等式. 证明也很直接.

\[
(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots+x^n\geqslant 1+ nx.
\]

易见, $n\geqslant 2$ 时, 等号成立当且仅当 $x=0$.

事实上, 这个不等式有更一般的形式. 设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 是 $n$ 个同号的实数, 且均大于 $-1$. 则有下面的不等式:

\[
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant 1+x_1+x_2+\cdots+x_n.
\]