P.30 习题1.4
3. 求下列极限
(1) $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\cos\dfrac{2}{x}$
(2) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\sin n}{2^n}$
(3) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1+\cos x}{x}$
(4) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\arctan x}{x}$
(5) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2x+1}$
(6) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-\sin x-\cos x}$
1
(1)
\[
\lim_{x\rightarrow 0}x\cos\frac{2}{x}=0.
\]
这里 $x=0(1)$ $(x\rightarrow 0)$, 而 $\cos\dfrac{2}{x}$ 是有界函数, 因此它们的乘积仍为无穷小量.
(2)
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin n}{2^n}=0.
\]
这里 $\sin n$ 是有界函数; $\dfrac{1}{2^n}\rightarrow 0$ $(n\rightarrow\infty)$. 因此它们的乘积仍然是无穷小量.
(注意数列可以看成定义在自然数集上的函数.)
(3)
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1+\cos x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\bigl[(1+\cos x)\cdot\frac{1}{x}\bigr]=0.
\]
最后一个等号应用了有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量这个结论. 其中 $(1+\cos x)$ 是有界函数, $\frac{1}{x}=0(1)$ $(x\rightarrow\infty)$.
(4)
\[
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\arctan x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{x}\arctan x=0.
\]
这里 $\frac{1}{x}=0(1)$ $(x\rightarrow\infty)$; $\arctan x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 是有界函数. 故它们的乘积仍为无穷小量.
(5)
\[
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{2+\frac{1}{x}}=\infty
\]
(6)
\[
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-\sin x-\cos x}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-(\sin x+\cos x)}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}=+\infty
\]