问题及解答

若

\[\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{e^{x+1}+e^{3-x}}=\frac{\pi}{4e^2},\]

求常数 $a$.

[Hint] 被积函数分子分母同乘以 $e^x$, 然后换元. 答案 $a=1$.

\[
\begin{split}
\int_a^{+\infty}\frac{1}{e^{x+1}+e^{3-x}}\mathrm{d}x&=\int_a^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x+1}+e^3}\mathrm{d}x\\
&=\int_a^{+\infty}\frac{1}{e\cdot(e^x)^2+e^3}\mathrm{d}e^x
\end{split}
\]

令 $t=e^x$, 则

\[
\begin{split}
\text{上式}&=\frac{1}{e}\int_{e^a}^{+\infty}\frac{1}{t^2+e^2}\mathrm{d}t\\
&=\frac{1}{e}\cdot\frac{1}{e}\arctan\frac{t}{e}\biggr|_{e^a}^{+\infty}\\
&=\frac{1}{e^2}\cdot(\frac{\pi}{2}-\arctan e^{a-1}).
\end{split}
\]

现在由条件得

\[
\frac{1}{e^2}\cdot(\frac{\pi}{2}-\arctan e^{a-1})=\frac{\pi}{4e^2},
\]

这推出

\[\arctan e^{a-1}=\frac{\pi}{4},\]

从而 $a=1$.