设 $\Phi(t)$, $\Psi(t)$ 是方程组 $X'(t)=A(t)X(t)$ 的任意两个基解矩阵. 这里 $t\in[a,b]$. $X(t)$ 是一 $n\times n$ 矩阵, $A(t)$ 也是一 $n$ 阶方阵.
所谓基解矩阵是指: $\Phi(t)$ 满足此方程, 且 $\det\Phi(t)\neq 0$, $\forall\ t\in[a,b]$.
证明: 存在非奇异常数矩阵 $C$, 使得 $\Phi(t)\equiv\Psi(t)\cdot C$, $\forall\ t\in[a,b]$.
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由题设, $\Phi(t)$, $\Psi(t)$ 均可逆. 令 $C(t)=\Psi^{-1}(t)\cdot\Phi(t)$. 于是 $\Phi(t)=\Psi(t)\cdot C(t)$. 两边对 $t$ 求导,
\[
\Phi'(t)=\Psi'(t)\cdot C(t)+\Psi(t)\cdot C'(t)
\]
又 $\Psi'(t)=A(t)\cdot\Psi(t)$, $\Phi'(t)=A(t)\cdot\Phi(t)$. 代入上式, 得
\[
A(t)\cdot\Phi(t)=A(t)\cdot\Psi(t)\cdot C(t)+\Psi(t)\cdot C'(t)
\]
而 $\Psi(t)\cdot C(t)=\Phi(t)$, 代入, 得
\[
A(t)\cdot\Phi(t)=A(t)\cdot\Phi(t)+\Psi(t)\cdot C'(t)
\]
这推出 $\Psi(t)\cdot C'(t)\equiv 0$. 两边乘以 $\Psi^{-1}(t)$, 得 $C'(t)\equiv 0$, $\forall\ t\in[a,b]$. 于是矩阵 $C(t)$ 是常值矩阵, 不妨记为 $C$. 因此,
\[\Phi(t)=\Psi(t)\cdot C,\quad\forall\ t\in[a,b]\]