问题及解答

P. 125  习题 3.3

4.  求函数 $f(x)=\arcsin x$ 的带有拉格朗日(Lagrange)余项的三阶麦克劳林(MacLaurin)展开式.

6.  求函数 $f(x)=xe^x$ 的带有皮亚诺(Peano)余项的 $n$ 阶麦克劳林展开式.

9.  利用麦克劳林公式求下列极限:

(1)    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x}$

4.

关于 $f(x)=\arcsin x$ 的高阶导数参见问题2585.

\[
\begin{aligned}
f'(x)&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
f''(x)&=x\cdot(f'(x))^3=\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}\\
f'''(x)&=(f'(x))^3+3x^2\cdot(f'(x))^5=\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}+\frac{3x^2}{(1-x^2)^{5/2}}\\
f^{(4)}(x)&=9x\cdot(f'(x))^5+15x^3\cdot(f'(x))^7=\frac{9x}{(1-x^2)^{5/2}}+\frac{15x^3}{(1-x^2)^{7/2}}\\
\end{aligned}
\]

因此, $f(0)=\arcsin 0=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$, $f'''(0)=1$.

\[
\begin{split}
f(x)&=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4\\
&=x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4\\
&=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}\cdot\Bigl(\frac{9\xi}{(1-\xi^2)^{5/2}}+\frac{15\xi^3}{(1-\xi^2)^{7/2}}\Bigr)\cdot x^4\\
&=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}\cdot\frac{9\theta x+6(\theta x)^3}{(1-(\theta x)^2)^{7/2}}\cdot x^4
\end{split}
\]

这里 $\xi\in(0,x)$ 或 $\xi\in(x,0)$. 因此也可以写成 $\xi=\theta x$, 其中 $\theta\in(0,1)$.

6.

$f(x)=xe^x$ 的高阶导数参见问题2613.  

\[
f^{(n)}(x)=(n+x)e^x\quad\Rightarrow\quad f^{(n)}(0)=n
\]

于是, $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 MacLaurin 公式为

\[
\begin{split}
f(x)&=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\\
&=0+\frac{1}{1!}x+\frac{2}{2!}x^2+\frac{3}{3!}x^3+\cdots+\frac{n}{n!}x^n+o(x^n)\\
&=x+\frac{1}{1!}x^2+\frac{1}{2!}x^3+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}x^n+o(x^n).\\
\end{split}
\]

带有 Lagrange 余项的 MacLaurin 公式为

\[
\begin{split}
f(x)&=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}\\
&=0+\frac{1}{1!}x+\frac{2}{2!}x^2+\frac{3}{3!}x^3+\cdots+\frac{n}{n!}x^n+\frac{(n+1+1)e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}\\
&=x+\frac{1}{1!}x^2+\frac{1}{2!}x^3+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}x^n+\frac{(n+2)e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1},\\
\end{split}
\]

其中 $\theta\in(0,1)$.

9.  (1)

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}
\]

我们试将 $e^x$ 和 $\sin x$ 的 MacLaurin 公式代入所求极限中. 由于上面极限中分母只是 $x^3$, 因此 $e^x$ 和 $\sin x$ 也只需展开到 $x^3$ 即可. 具体的,

\[
e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)
\]

\[
\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^4)
\]

事实上, $e^x$ 只需展开到 $x^2$, 因为 $\sin x$ 的第一项是 $x$. 于是,

\[
\begin{split}
e^x\cdot\sin x&=\Bigl(1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+o(x^2)\Bigr)\cdot\Bigl(x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^4)\Bigr)\\
&=\Bigl(1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2\Bigr)\cdot\Bigl(x-\frac{1}{3!}x^3\Bigr)+(1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2)\cdot o(x^4)+o(x^2)\cdot(x-\frac{1}{3!}x^3)+o(x^2)\cdot o(x^4)\\
&=x+x^2+\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{6}x^4-\frac{1}{12}x^5+o(x^4)+o(x^3)+o(x^6)\\
&=x+x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3),
\end{split}
\]

从而,

\[
e^x\sin x-x(1+x)=\frac{1}{3}x^3+o(x^3).
\]

代入极限, 得

\[
\text{原极限}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{3}.
\]