问题及解答

求函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ 的间断点, 并判别间断点的类型.

[hint]

写出 $f(x)$ 的具体表达式, 分段定义.

(1) 当 $|x| < 1$ 时, $x^{2n}\rightarrow 0$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时. 因此, 此时

\[f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x(1-x^{2n})}{1+x^{2n}}=x.\]

(2) 当 $|x| > 1$ 时,

\[
f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x(1-x^{2n})}{1+x^{2n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x(\frac{1}{x^{2n}}-1)}{\frac{1}{x^{2n}}+1}=-x.
\]

(3) 当 $|x|=1$ 时,

\[f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}=0.\]

因此,

\[
f(x)=
\begin{cases}
x, & |x| < 1,\\
0, & |x|=1,\\
-x, & |x| > 1.
\end{cases}
\]

因此, $x=\pm 1$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点.